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惠更斯與概率論的奠基
惠更斯與概率論的奠基 摘要:惠更斯是概率論學(xué)科的奠基者之一。其《論賭博中的計(jì)算》是第一部概率論著作,該書首次提出數(shù)學(xué)期望的概念,創(chuàng)立了“惠更斯分析法”,第一次把概率論建立在公理、命題和問題上而構(gòu)成一個(gè)較完整的理論體系。
關(guān)鍵詞:點(diǎn)子問題 概率論 惠更斯 遞推法 數(shù)學(xué)期望
在紀(jì)元之初,民間就流行用抽簽來(lái)解決人們彼此間的爭(zhēng)端,這可能是最早的概率應(yīng)用。隨著社會(huì)的發(fā)展,隨機(jī)現(xiàn)象愈來(lái)愈左右著人類的生活。因而在不確定性因素的情境中,尋找行為的理性規(guī)則,使理性服從機(jī)遇的愿望成為數(shù)學(xué)家研究的課題之一。直到文藝復(fù)興時(shí)期,隨機(jī)世界依然撲朔迷離、不能辨析。作為研究隨機(jī)現(xiàn)象的概率論出現(xiàn)在17 世紀(jì)中葉,象征著概率論誕生的標(biāo)志,就是克里斯蒂安·惠更斯(Christian Huy-gens ,1629 - 1695) 在1657 年發(fā)表的《論賭博中的計(jì)算》(On Reckoning at Games of Chance ) 一文。
一、論文的來(lái)源
惠更斯1629 年誕生于海牙的一個(gè)富豪之家。其父知識(shí)淵博,擅長(zhǎng)數(shù)學(xué)研究,同時(shí)又是一杰出的詩(shī)人和外交家�；莞箯男∈艿搅烁赣H的熏陶,喜歡學(xué)習(xí)和鉆研科學(xué)問題。16 歲進(jìn)入萊頓大學(xué)學(xué)習(xí),后轉(zhuǎn)到布雷達(dá)大學(xué)學(xué)習(xí)法律和數(shù)學(xué)。26 歲獲得法學(xué)博士學(xué)位。數(shù)學(xué)老師范·舒藤(Frans Van Sehooten) 指導(dǎo)他學(xué)習(xí)當(dāng)時(shí)的著名數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家卡卡維(Carcavi) 的數(shù)學(xué)著作及其哲學(xué)著作�；莞箯闹懈形虻綌�(shù)學(xué)的奧妙而對(duì)數(shù)學(xué)很感興趣。1650 —1666 年期間,他大多時(shí)間在家中潛心研究光學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)和數(shù)學(xué)等領(lǐng)域,成果顯著,一舉成為當(dāng)時(shí)聞名遐邇的科學(xué)家。
除去在光學(xué)、天文學(xué)等領(lǐng)域的貢獻(xiàn)外,惠更斯也有出眾的數(shù)學(xué)才能,可謂是一個(gè)解題大師,早在22 歲時(shí)就寫出關(guān)于計(jì)算圓周長(zhǎng)、橢圓弧及雙曲線的論文。他發(fā)現(xiàn)了許多數(shù)學(xué)技巧,解決了大量數(shù)學(xué)問題。如他改進(jìn)了計(jì)算π值的經(jīng)典方法;繼續(xù)笛卡爾、費(fèi)馬和帕斯卡的工作,對(duì)多種平面曲線,如懸鏈線、曳物線、對(duì)數(shù)螺線、旋輪線等都進(jìn)行過研究;對(duì)許多特殊函數(shù)求得其面積、體積、重心及曲率半徑等,某些方法與積分方程的積分法相似。伯努利兄弟對(duì)惠更斯的研究極為佩服,尤其是約翰(John Bernoulli ,1667 —1748) 發(fā)現(xiàn)旋輪線也是最速降線時(shí)甚是激動(dòng)。他說:“這惠更斯等時(shí)曲線(旋輪線) 就是我們正在尋求的最速降線! 我感到十分驚奇!”惠更斯在數(shù)學(xué)方面的最大貢獻(xiàn),就是以《論賭博中的計(jì)算》一文奠基了概率論的基礎(chǔ)。
1654 年,賭徒梅勒向當(dāng)時(shí)的“數(shù)學(xué)神童”帕斯卡(B1Pascal ,1623 - 1662) 提出了其在賭場(chǎng)上遇到的幾個(gè)不解問題。后帕斯卡與費(fèi)馬(Pierre de Fermat ,1601 - 1665) 以通信的方式對(duì)這些問題進(jìn)行了較為詳盡的討論,并將其推廣到一般情形,這就使概率計(jì)算由單純計(jì)數(shù)而轉(zhuǎn)向更為精確的階段,但二人都不愿意發(fā)表研究成果,故有關(guān)概率知識(shí)沒有得到及時(shí)傳播。
1655 年秋,惠更斯第一次訪問巴黎。他遇到羅貝瓦爾(G1P1de Roberval) 及梅勒恩(Mylon) ,但沒有見到帕斯卡和費(fèi)馬。他獲知去年有一場(chǎng)關(guān)于概率問題的討論,但不知其具體解決方法及結(jié)果。由于羅貝瓦爾對(duì)此問題毫無(wú)興趣,因而惠更斯對(duì)費(fèi)馬和帕斯卡的討論結(jié)果幾乎一無(wú)所知。
1656 年4 月,回國(guó)后的惠更斯自己解決了這些概率問題,并將其手稿送給范·舒藤審閱,同時(shí)寫信給羅貝瓦爾,尋求幾個(gè)概率問題的解答。此時(shí)范·舒藤正在籌印其《數(shù)學(xué)習(xí)題集》,因而他建議惠更斯將此文印刷發(fā)表,并親自替學(xué)生將該文譯成拉丁文。由于惠更斯沒有收到羅貝瓦爾的信,便又寫信給梅勒恩,并通過卡卡維將信轉(zhuǎn)給費(fèi)馬。在1656 年6 月22 日費(fèi)馬的回信中,給出與惠更斯相一致的解決方案,但無(wú)證明過程。此外,費(fèi)馬又向惠更斯提出了5 個(gè)概率問題。閱信后,惠更斯很快解出這些問題,并把其中2 個(gè)問題收錄在著作中。他于7 月6日將結(jié)果送給卡卡維讓其轉(zhuǎn)給梅勒恩、帕斯卡和費(fèi)馬確定解答正確與否�？ǹňS在9月28 日的回信中肯定了惠更斯的解答,并給出帕斯卡與費(fèi)馬對(duì)點(diǎn)子問題的解決方案,但無(wú)證明�；莞乖�10 月12日給卡卡維的回信中也提出了一個(gè)無(wú)證明的解決方法。
1657 年3 月在最后一次校訂時(shí),惠更斯將其論文增加為9 個(gè)命題和5 個(gè)問題,形成了《論賭博中的計(jì)算》的基本構(gòu)架�；莞惯�將給范·舒藤的一封信作為該文的前言,這篇前言形成了全文的思想基礎(chǔ)。他在其中明確地提出:“盡管在一個(gè)純粹運(yùn)氣的游戲中結(jié)果是不確定的,但一個(gè)游戲者或贏或輸?shù)目赡苄詤s可以確定�！薄�1〕可能性用的是“probability”,其意義與今天的概率幾無(wú)差別。惠更斯的這種思想使得“可能性”成為可以度量、可以計(jì)算、具有客觀實(shí)際意義的概念。信中惠更斯強(qiáng)調(diào)了這一新理論的重要性:“我相信,只要仔細(xì)研究這個(gè)課題,就會(huì)發(fā)現(xiàn)它不僅與游戲有關(guān),而且蘊(yùn)含著有趣而深刻的推理原則�！辈⑼锵У卣f“, 法國(guó)的杰出數(shù)學(xué)家已經(jīng)解決了這些問題,無(wú)人會(huì)把這個(gè)發(fā)明權(quán)授予給我�！逼鋬�(nèi)容被編排在范·舒藤之書的519 - 534 頁(yè)。該書出版于1657 年9 月,而荷蘭文版出版于1660 年,英文版出版于1692 年,德文版出版于1899 年,法文版出版于1920 年,意大利文版出版于1984 年。
二、創(chuàng)立數(shù)學(xué)期望
《論賭博中的計(jì)算》的寫作方式很像一篇現(xiàn)代的概率論論文。先從關(guān)于公平賭博值的一條公理出發(fā),推導(dǎo)出有關(guān)數(shù)學(xué)期望的三個(gè)基本定理,利用這些定理和遞推公式,解決了點(diǎn)子問題及其他一些博弈問題。最后提出5 個(gè)問題留給讀者解答,并僅給出其中的3 個(gè)答案。通常所謂惠更斯的14 個(gè)命題,指的就是書中3 條定理加上11 個(gè)問題。
公理:每個(gè)公平博弈的參與者愿意拿出經(jīng)過計(jì)算的公平賭注冒險(xiǎn)而不愿拿出更多的數(shù)量。即賭徒愿意押的賭注不大于其獲得賭金的數(shù)學(xué)期望數(shù)〔2〕。
對(duì)這一公理至今仍有爭(zhēng)議。所謂公平賭注的數(shù)額并不清楚,它受許多因素的影響。但惠更斯由此所得關(guān)于數(shù)學(xué)期望的3 個(gè)命題具有重要意義。這是數(shù)學(xué)期望第一次被提出,由于當(dāng)時(shí)概率的概念還不明確,后被拉普拉斯(P1S1M1de Laplace ,1749 —1827) 用數(shù)學(xué)期望來(lái)定義古典概率。在概率論的現(xiàn)代表述中,概率是基本概念,數(shù)學(xué)期望則是二級(jí)概念,但在歷史發(fā)展過程中卻順序相反。
關(guān)于數(shù)學(xué)期望的三個(gè)命題為:
命題1 若在賭博中獲得賭金a 和b 的概率相等,則其數(shù)學(xué)期望值為( a + b)P21
命題2 若在賭博中獲得賭金a 、b 和c 的概率相等,則其數(shù)學(xué)期望值為( a + b + c)P31
命題3 若在賭博中分別以概率p 和q ( p ≥0 , q ≥0 , p + q = 1) 獲得賭金a 和b ,則獲得賭金的數(shù)學(xué)期望值為pa + qb1
這些今天看來(lái)都可作為數(shù)學(xué)期望定義。但對(duì)惠更斯來(lái)說,必須給出演繹證明,因當(dāng)時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)的一種公認(rèn)處理方法是從盡可能少的公理推導(dǎo)其他內(nèi)容�；莞顾o的命題1 證明為:
假設(shè)在一公平的賭博中,勝者愿意拿出部分賭金分給輸者。若二人的賭注均為x ,勝者給輸者的為a ,因而所剩賭金為2 x - a = b ,故x = ( a + b)P2。
帕斯卡與費(fèi)馬在通信中所說的“值”等于賭注乘以獲勝的概率,因而已于概率無(wú)本質(zhì)區(qū)別。而惠更斯在這里將“值”改稱為“數(shù)學(xué)期望”是一個(gè)進(jìn)步(在該書荷蘭版中,惠更斯仍沿用“值”的概念) 。
將命題3 推廣便得到今日數(shù)學(xué)期望的定義。因此惠更斯當(dāng)之無(wú)愧是數(shù)學(xué)期望概念的奠基人。
三、求解點(diǎn)子問題
所謂點(diǎn)子問題是:甲乙二人賭博,其技巧相當(dāng),約定誰(shuí)先勝s 局則獲全部賭金。若進(jìn)行到甲勝s1 局而乙勝s2 局時(shí)( s1 < s , s2 < s) ,因故停止,賭金應(yīng)如何分配才公平?
惠更斯深刻認(rèn)識(shí)到點(diǎn)子問題的重要性,因而在其著作中有6 個(gè)命題討論了該問題。命題4 - 7 都是有關(guān)二人的點(diǎn)子問題,而命題8 和命題9 將問題推廣到三人及若干個(gè)人。
惠更斯的解決思路為:賭徒分得賭注的比例等于其獲勝的概率。他假設(shè)賭徒在每局獲勝的概率不變,且各局間相互獨(dú)立。這樣就可以歸結(jié)為一般問題:
設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)中某隨機(jī)事件每次成功的概率為p ,重復(fù)獨(dú)立進(jìn)行該試驗(yàn)若干次,求在b 次失敗前取得a 次成功的概率。
惠更斯認(rèn)識(shí)到點(diǎn)子問題的關(guān)鍵與已勝局?jǐn)?shù)無(wú)關(guān),而與離全勝所差局?jǐn)?shù)相關(guān)。設(shè)甲離全勝所差局?jǐn)?shù)為a= s - s1 ,而乙為b = s - s2 ,則至多再進(jìn)行的局?jǐn)?shù)為a + b - 1。由全概率公式得一有限差分方程而解之。
命題4 - 7 分別為( a , b) = (1 ,2) , (1 ,3) , (2 ,3) , (2 ,4) 。
點(diǎn)子問題推廣后可應(yīng)用于當(dāng)今一些體育比賽問題。如甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行某種比賽,已知每局甲勝的概率為016 ,乙勝的概率為014�？刹捎�3 局2 勝制或5 局3 勝制進(jìn)行比賽,問哪種比賽制度對(duì)甲有利? 點(diǎn)子問題可轉(zhuǎn)化為古典概型中的三大概型之一的摸球問題。即從裝有m 個(gè)白球n 個(gè)黑球的袋子中有放回摸球,求在摸到a 次黑球前摸到b 次白球的概率。由此又可以轉(zhuǎn)化為大量的應(yīng)用問題。二項(xiàng)分布、幾何分布、負(fù)二項(xiàng)分布等常見離散型分布均可由點(diǎn)子問題引申出來(lái),所以點(diǎn)子問題的圓滿解決是概率論誕生的標(biāo)志之一。
當(dāng)時(shí)梅勒問帕斯卡的另一個(gè)問題是:據(jù)經(jīng)驗(yàn)知,一顆骰子連擲4 次“至少出現(xiàn)一個(gè)6 點(diǎn)”的概率大于1P2 ;兩顆骰子擲一次的結(jié)果6 倍于一顆骰子擲一次的結(jié)果,那么,兩顆骰子擲24 次“至少出現(xiàn)一對(duì)6 點(diǎn)”的概率也應(yīng)大于1P2 ,但賭場(chǎng)的經(jīng)驗(yàn)并非如此,應(yīng)如何解釋?! 梅勒憤怒地譴責(zé)數(shù)學(xué),粗暴地?cái)嘌?算術(shù)是自相矛盾的�；莞箤�(duì)此也進(jìn)行了深刻討論,并將其分解成如下三個(gè)命題。
命題10 一顆骰子連擲多少次有利于“至少出現(xiàn)一個(gè)6 點(diǎn)”?
命題11 兩顆骰子連擲多少次有利于“至少出現(xiàn)一對(duì)6 點(diǎn)”?
命題12 一次擲多少顆骰子有利于“至少出現(xiàn)一對(duì)6 點(diǎn)”?
惠更斯利用命題3 及遞推法圓滿解決了上述問題。
四、獨(dú)創(chuàng)分析法
在《論賭博中的計(jì)算》的最后兩個(gè)命題中,惠更斯創(chuàng)立了著名的“惠更斯分析法”來(lái)解決概率問題。
命題13 甲、乙二人賭博,將兩顆骰子擲一次,若其點(diǎn)子和為7 則甲贏,為10 則乙勝,為其它點(diǎn)則平分賭注。試求二人分配賭注的比例。
命題14 A ,B 二人輪流擲兩顆均勻的骰子,若A 先擲出7 點(diǎn),則A 勝;若B 先擲出6 點(diǎn),則B 勝。B 先擲,求A 獲勝的概率。
對(duì)命題14 ,惠更斯的解法為:設(shè)全部賭注為t ,A 的期望為x ,則B 的期望為t - x ,則當(dāng)B 擲時(shí),A 的期望為x ;當(dāng)A 擲時(shí),A 的期望為y 。因每次投擲時(shí),A 的獲勝概率為6P36 ,B 的獲勝概率為5/36 ,由命題3 得5/36 ×0 +31/36 y = x 6/36 t +30/36 x = y 。
解得x = 31 t/36 即A 獲勝的概率為31/36 。
這個(gè)問題的求解與前面的方法不同,通過列代數(shù)方程來(lái)求解,這是惠更斯的獨(dú)創(chuàng),該方法后被雅可布(Jacob Bernoulli ,1654 —1705) 稱之為“惠更斯分析法”〔4〕�；莞箾]有給出進(jìn)一步的討論,但按其思想可得更一般解法。可見,惠更斯從數(shù)學(xué)期望入手,明確給出了概率的客觀意義,但他的概率計(jì)算全是通過期望來(lái)進(jìn)行的。從期望出發(fā)解釋概率,與以概率定義期望的現(xiàn)代概率論恰恰相反。因此,惠更斯的概率思想值得探究。
五、惠更斯的5 個(gè)問題
惠更斯的最后5 個(gè)問題,雖也都是在形形色色的賭博機(jī)制中,計(jì)算一方取勝的概率,但在概率論誕生初期,這無(wú)疑是向同時(shí)代數(shù)學(xué)家的挑戰(zhàn)〔5〕。他說:“給我的讀者(如果有的話) 留下一些思考題應(yīng)該是有益的,這將供他們練習(xí)或者打發(fā)時(shí)間�！�
問題1 兩人玩擲雙骰子游戲。若A 擲出6 點(diǎn)則贏,而B 擲出7 點(diǎn)勝。A 先擲一次后, B 擲二次,A 再擲二次,如此下去直至一方獲勝。A 與B 的勝負(fù)比是多少? (答案:10355 比12276)
該問題是費(fèi)馬在1656 年6 月向惠更斯提出的,顯然它是命題14 的推廣。在1656 年7 月6 日惠更斯寫給卡卡維的信中提到問題解決方案。
問題2 一袋中裝有4 個(gè)白球8 個(gè)黑球,3 人蒙住眼睛輪流摸球。先得白球者獲勝,求三人獲勝的機(jī)會(huì)比。
惠更斯在其1665 年的筆記中給出問題答案為9∶6∶4 。
問題3 有40 張牌,每種花色10 張。甲同乙打賭他能抽出花色不同的4 張牌,每人投的賭注應(yīng)是多少?(答案:1000∶8139)
這個(gè)問題由費(fèi)馬在1656 年6 月向惠更斯提出,在1656 年7 月6 日惠更斯寫給卡卡維的信中提出問題解決方案。
問題4 一袋中裝有4 個(gè)白球8 個(gè)黑球,甲同乙打賭他能在摸出的7 個(gè)球中含有3 個(gè)白球。求二人獲勝的機(jī)會(huì)比。
惠更斯在其1665 年的筆記中記錄著這個(gè)問題的答案為35∶99 。
問題5 二人玩擲三顆骰子游戲,甲乙各有12 個(gè)籌碼,若擲出11 點(diǎn),甲給乙一個(gè)籌碼,而擲出14 點(diǎn),則乙給甲一個(gè)籌碼,直至兩人中有一人輸光。求甲乙獲勝的機(jī)會(huì)比。(答案:244140625∶282429536481)
這個(gè)問題就是著名的賭徒輸光問題,也叫具有兩個(gè)吸收壁的隨機(jī)游動(dòng)問題。它由帕斯卡向費(fèi)馬提出,后卡卡維于1656 年9 月28 日的信中告知惠更斯,其中含有帕斯卡和費(fèi)馬的解答。惠更斯在1656 年10 月12日給卡卡維的回信中提出自己的解法,其證明過程可在其1676 年的讀書筆記中發(fā)現(xiàn)。
六、歷史評(píng)價(jià)
到17 世紀(jì)時(shí),不少學(xué)者已對(duì)賭博中的某些問題進(jìn)行了討論,并挖掘了其中的數(shù)學(xué)原理。但對(duì)當(dāng)時(shí)的大多數(shù)學(xué)家來(lái)說,概率論是庸俗的賭博游戲,難登大雅之堂。正是社會(huì)的發(fā)展及其需要,才推動(dòng)了概率論的發(fā)展。如果沒有社會(huì)的需要,概率論至今恐怕仍然只能在牌桌上顯示神通。“概率論產(chǎn)生于賭博”,這個(gè)觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的或者說是不完全對(duì)的。“賭博問題”和“理性思考”是概率論產(chǎn)生的兩個(gè)必要條件,而后者更重要。猶如蘋果落地千千萬(wàn),而只有牛頓從中發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力定律。
不少學(xué)者錯(cuò)誤地認(rèn)為,帕斯卡、費(fèi)馬和惠更斯三人一起討論了概率問題,而后者僅是將前二者的結(jié)果著書立說。從該書的撰寫過程來(lái)看,惠更斯幾乎全是自己獨(dú)立解決的這些概率問題,雖帕斯卡、費(fèi)馬間接給他提供了一些問題,但均無(wú)解答過程。概率史界認(rèn)為,帕斯卡與費(fèi)馬的通信標(biāo)志著概率論的誕生。然而他們的通信直至1679 年才完全公布于世,故惠更斯的《論賭博中的計(jì)算》標(biāo)志著概率論的誕生。因此,不少學(xué)者宣稱惠更斯為概率論的正式創(chuàng)始人�；莞沟摹墩撡�博中的計(jì)算》不僅是第一部概率論著作,而且是第一個(gè)把該學(xué)科建立在公理、命題和問題上而構(gòu)成一個(gè)較完整的理論體系,第一次對(duì)以前概率論知識(shí)系統(tǒng)化、公式化和一般化。該書為概率論的進(jìn)一步發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)〔6〕。
1657 年9 月《論賭博中的計(jì)算》出版后立即得到學(xué)術(shù)界的認(rèn)可和重視。該書在歐洲多次再版,作為概率論的標(biāo)準(zhǔn)教材長(zhǎng)達(dá)50 年之久。直至1713 年雅可布的《猜度術(shù)》出版才遏制住該書的再版,然而該書的影響還在繼續(xù)。因《猜度術(shù)》的第一卷就是《論賭博的計(jì)算》的注釋,并籍此建立了第一個(gè)大數(shù)定理。法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗(A1de Moiver ,1667 —1754) 的《機(jī)會(huì)學(xué)說》也是在該書的基礎(chǔ)上,由二項(xiàng)分布的逼近得到了正態(tài)分布的密度函數(shù)表達(dá)式。拉普拉斯在此基礎(chǔ)上給出古典概率的定義。因此,惠更斯的概率思想對(duì)古典概率的影響是重要而持久的,其方法可以看作那一時(shí)期的特點(diǎn)。但是,至于什么是“理想理論”,需要考慮它的歷史發(fā)展階段,不能苛求古人,也不能執(zhí)于一偏。
盡管惠更斯的《論賭博中的計(jì)算》已出版300 余年了,但其科學(xué)的思想方法已跨越時(shí)空在數(shù)學(xué)教育尤其是概率論的學(xué)習(xí)中散發(fā)著無(wú)窮的力量。了解其內(nèi)容有助于我們學(xué)習(xí)和應(yīng)用概率論這一重要的數(shù)學(xué)分支。正如拉普拉斯所說“一門開始于研究賭博機(jī)會(huì)的科學(xué),居然成了人類知識(shí)中最重要的學(xué)科,這無(wú)疑是令人驚訝的事情�！�
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