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關于相對論與其解的時空分析
關于相對論與其解的時空分析 一。狹義相對論的時空解及比較
在狹義相對論中，兩慣性系相對速度 與 和 平行
（1）
（ ）為 坐標系的坐標，（ ）為 坐標系的坐標，令 ， ，所以變換矩陣為
（2）
如果; ,相對速度 不變，那么
(3)
比較 與
（4）
（5）
比較后知道（4）式=（5）式
（6）
二。時空觀測的定義
為了較方便地說清楚不同的觀測結果與不同坐標中長度與時間的相互比較
的關系，在字母頂部加3個指標，
如：
定義為：左邊指標為觀察目標所在的坐標系，中間指標為觀察者選擇的單
位長度與時間所在的坐標系，右邊指標為觀察者觀察時所在的坐標系。這樣有：
其中， 和 是固有時， 與 是固有長度。
三。 的推導
在狹義相對論中有
(6.1)
那么，在什么條件下上式會是普適的呢？
先來考察歐幾里德幾何。對觀察者而言，在歐幾里德幾何中的二維空間的坐
標 中，觀察到的單位長度 ，與在歐幾里德幾何中的二維空間坐標 中，
觀察到的單位長度 。觀察者是無法在長度方面區(qū)別 和 的，即
（7）
這是歐幾里德幾何的觀察者假設，也是符合經(jīng)驗的假設，以前從未被指出過。
根據(jù)相對論，在四維時空坐標中，時空量表示為：
（8）
廣義相對論中的不變量原理確定了，任意四維時空坐標都有（8）式。
現(xiàn)在，在非歐幾里德的四維時空坐標中，推廣歐幾里德幾何的觀察者假設。
先定義一種四維時空坐標，在觀察者觀察的時間內，這個坐標內的時空度規(guī)
時間平移不變性和空間平移不變性，令ξ為坐標內時空場ξ=
ξ ,(i=1,2,3,4)，表示為李（Lie）微商有
?ξ gμυ =0 （9）
而
（10）
如果所取的時空體積足夠小，即 ，那么總可以成為這種坐標。這種坐
標具有普適性。
在四維時空中,隨意取兩個這種坐標 和 ，觀察者在坐標內所觀察到的單
位時空量 和 ，如果觀察者不與坐標外其他坐標比較的話，他是無法在
時空量方面區(qū)分他在 和坐標內觀察到的單位時空量和（觀察者在 坐標內觀察 時，也不能與 坐標內的比較。他只能分別觀察 和 后，再比較 和 ）。這是四維彎曲時空的觀察者假設。即觀察
者無法區(qū)分不同的這種坐標系的固有時間和固有長度。
這樣觀察者可以得到
（11）
令 ， ，得：
（12）
（12.1)
由（9）式和（10）式的定義，觀察者總能認為他所在的坐標系內滿足
（13）
（14）
那么有
（6）
因
所以 有相同的量綱。
所以可以，令
（15）
（16）
那么有
（15.1)
(16.1)
所以
(17)
而在上述定義的坐標系中，總有
（18）
所以 （19）
這樣就有在上述定義的坐標系中，時間量平方的變化量與空間量平方的變化
量相等。這就是時空的對稱變化�？蓪憺�
（6）
這里稱為時空對稱理論。上式的空間量是固有長度 和 ，時間量則
不是固有時，固有時 和 有下列關系：
（20）
而 和 不符合 中的任一
種時間量的微分，故
（16）
不是真實觀測值。
四。Schwarzchild解的分析
用時空對稱理論求解Schwarzchild解十分簡單，在得到 后，因
（19）
可得
（15.2)
(16.1)
(13.1)
下面用廣義相對論四維時空標架求解Schwarzchild解，并比較時空對稱理
論用四維時空標架求解Schwarzchild解的辦法
（t=ict , c =1) (21)
這是靜態(tài)球對稱度規(guī)的標準形式。
在求解過程中得到
， （22）
令 ，得到
（23）
令 ，其物理意義是將絕對平直坐標系內的固有時與固有長度之間
物理條件，應用到有引力場的非慣性坐標系。
因此
（16.2)
不是真實觀測值。
而固有時 與 之間有
（20.1)
這樣 與固有長度的度規(guī) 有
（24）
又因為對觀測者而言 項是觀測不到的，所以觀測到的是正交時空
坐標，這樣靜態(tài)球對稱度規(guī)的標準形式：
（t=ict , c =1) （21）
不符合要求，只有
（25）
符合要求。
計算克里斯朵夫聯(lián)絡的非零分量，其中
， ， ，
， 。
與經(jīng)典的求解Schwarzchild解的計算值一樣。 （26）
也與經(jīng)典的求解Schwarzchild解的計算值一樣，也可得
， （22）
令 ，Schwarzchild解中的長度量，用固有長度表示有
（23.1）
用時空對稱理論求解Schwarzchild解有
（13.1）
因為 項觀測不到，任何觀測坐標都是正交的。
不變，
（其中的r 是遠離引力場的觀測者的觀測值， ）
這樣，時空對稱理論依舊可解釋引力紅移，引力引起的光線偏折和水星近
日點進 動（詳細內容在附錄中）。
這樣，用時空對稱理論和廣義相對論求得的Schwarzchild解時空物理意義
等價。
五。關于Kerr解
Kerr解中 不全為0，不是真實觀測解，不能符合用四維時空的觀
察者假設推導出的時空對稱理論。
但用時空對稱理論分析自轉坐標系，也能得到Kerr解才有的單位質量的角
量a ，這將在下面分析。
六。時間量和空間量
經(jīng)驗告知，空間是三維的，時間是一維的。在觀測者的直接觀測中，是觀
測不到空間與時間，空間與空間的相互作用。
故假定：觀測者通過直接觀測，無法觀測到空間與時間的相互作用量。即：
(27)
除非通過計算觀測結果，方可知道空間與時間的相互作用量。
這樣，對觀測者的直接觀測而言，任何觀測四維時空的線元長度為
(13)
而 項是觀測不到的。
絕對平直時空的四維時空線元
（13）
就是任何觀測者的直接觀測結果。
設有一種坐標系：
在該坐標系內任何一點觀測，光在此坐標系內的任何兩點的行走路 徑，都
是直線；在坐標系內任意點的真空中光速恒定，稱為相對平直坐標系。在彎曲時
空取足夠小的時空范圍，可得到此類坐標系，這類似微分。在彎曲時空取足夠小
的時空范圍，該范圍的時空近似平直。這與上面關于直接觀測是觀測不
到 項是一致的。在此坐標系內有統(tǒng)一的時空單位和統(tǒng)一的鐘和尺。
所以，此坐標系有：
（28）
[v]是指此坐標系內任意點真空中光的速度， [t]是指此坐標系內任意點的
時間。
以后本文中的坐標系都是此類坐標系。稱為相對平直坐標系。
不同的相對平直坐標系之間是"平行"的，須通過物理參數(shù)的變化，物質方
能從一個相對平直坐標系進入另一個相對平直坐標系。
（29）
（29）是時空對稱理論，即時間量平方的變化量與空間量平方的變化量相等。所
用的坐標系是相對平直坐標系。其中 和 不是固有時，設這兩個坐標系
固有時為 和 ，有：
（30）
所以，這里的時間量平方 與空間量平方 不能理解為：
可用時間單位或空間單位的平方代替，而應理解為類似密度的一種量，稱為時
間量密度與空間量密度。時空對稱理論是指時間量密度與空間量密度的對稱變
化。
令時間量密度為 ，空間量密度為 ，
類比固有時平方的倒數(shù) ，并可以替代；
類比固有長度平方 ，并可以替代；
（ 分別為固有時和固有長度）
令時空密度為 ，不同的相對平直坐標系有不同的時空密度 ，任意相對平直坐標系中有
（31）
在同一個相對平直坐標系中， 類比線元 ，但是不可以替代。
不同的相對平直坐標系比較時空觀測值時，須使用時間量密度和空間量密
度，通過設定某一相對平直坐標系時間量密度和空間量密度為1，得到不同的相
對平直坐標系的不同時間量密度和空間量密度。然后，對不同的相對平直坐標系
換算出不同的時間量和空間量單位。
這樣時空對稱理論實際上是關于時空密度的變化的理論，可表示為：
（32）
為不同的兩個相對平直坐標系時空密度， 為時空密度的變化量。
七。時空密度的變化量
在狹義相對論中
（33）
在Schwarzschild解中
（c=1） (34)
引力 （35）
根據(jù)等效原理有慣性質量等于引力質量，或在局域時空內慣性力和引力不
可區(qū)分，在本文中局域時空為相對平直坐標系代替，那么在相對平直坐標系中
（36）
（37）
（38）
所以有：
（39）
在狹義相對論和Schwarzschild解中
（33）
那么，時空對稱理論中，時空密度變化量 ，在 時，
（33）
這樣 （37）
變?yōu)?（40）
此積分為不定積分。
這里 是能量的一種形式。用四維時空觀點看， 是二階逆變二階
協(xié)變張量而不是狹義速度矢量的平方。
時空對稱理論在 時表示為
（41）
為須觀測的坐標系的時空密度； 為觀測者所在的坐標系的時空密度，時間密度，空間密度； 是能量的一種形式。哪個坐標系絕對地得到能量，這個坐標系的時空密度絕對地改變。
八。時空對稱理論和狹義相對論
假設兩個相對平直坐標系，一個靜止，一個角速度為 做圓周運動。
用時空對稱理論分析
(42)
對于角速度為 的坐標系，離心力為 （ r 為圓周半徑），
即 （43）
（44）
所以，時空密度的變化量 為
（45)
有 （46）
對于固有時 和固有長度 有
（47）
用狹義相對論分析固有時和固有長度有
（48）(是速度方向）
可以看出兩理論對固有時有相同結論；對于固有長度，時空對稱理論認為
固有長度全方向改變，狹義相對論認為只是平行瞬間速度 方向的固有長度
改變。
用時空對稱理論和狹義相對論分析以速度 v做直線運動的坐標系也有相同
結論，只不過時空對稱理論將以速度 v做直線運動的坐標系當做繞無窮遠處某
點做圓周運動。
對于邁克耳遜-莫雷實驗，狹義相對論是用慣性系中光速恒定來解釋，時空
對稱理論是用相對平直坐標系中光速不變來解釋。
九。時空對稱理論的詳細表述
假設1：設有時空坐標系
(28)
（即光速恒定, 項觀測不到 ）
是指此坐標系內任意點光的速度， 指此坐標系內任意點的固有時。
此類坐標系稱為相對平直坐標系。
假設2：任何觀測者所觀測到的真實時空坐標系都是相對平直坐標系。
不論是慣性系或非慣性系，只要坐標系足夠小，都是此類坐標系。
相對平直坐標系之間比較時空量，使用時空密度
（31）
是時間密度 ， 是空間密度。
在任一相對平直坐標系中，觀測者處在相同的時空密度 中，就有相同
的時間密度 和 空間密度 ，因而有相同的固有時和固有長度。
的大小正比于固有時流逝的快慢。
的大小正比于固有長度的長短。
時空對稱理論可表述為
(32)
為不同相對平直坐標系的時空密度。
當 ，有 （42）
(40)
用四維時空觀點看是二階逆變二階協(xié)變張量。
時空對稱理論認為 是能量的一種形式，而不是狹義的速度平方或加速
度，或二階逆變二階協(xié)變張量，上式的積分為不定積分。
當能量形式 絕對的改變，時空密度 絕對的改變。
十。時空對稱理論對不同坐標系之間的觀測比較
時空對稱理論對不同坐標系之間的觀測比較可簡單的分為兩種情況。其計
算結果是真實觀測值。
1。兩個相對平直坐標系 , 比較，有時空密度 ，
假設：
那么： （42）
為兩坐標系時空密度的比較
坐標系 的固有時比坐標系 的固有時流逝快。
坐標系 的固有長度比坐標系 的固有長度長。
并通過 （40）
與經(jīng)典的速度，引力和加速度對比，從而得到不同坐標系的固有時和固有
長度的區(qū)別。
2。設有三個坐標系 ，時空密度分別為 ，
假設
有
（32.1)
(49)
其中（ , ）
不論觀測者在 坐標系都將得到（49）式觀測結果，觀測者在第四坐標系也將得到（49）式觀測結果，這是時空對稱理論中所得計算結果是真實觀測
值的推論，也是時空對稱理論的兩個假設的推論。
十一。關于時空對稱理論可能的實驗證實
一種是檢測高速自轉物體的半徑和厚度是否縮短？
這種情況下，狹義相對論認為只有沿速度方向的周長縮短，半徑和厚度不
變。而時空對稱理論認為周長，半徑和厚度都將縮短。半徑縮短后為
（略去 以后項） （49）
項與Kerr-Newman解中的單位質量角動量項a一致。
厚度縮短后為
（50）
另外一種是一個加速運動坐標系與相對靜止的坐標系之間，在 的情況下，將有時空密度 的變化。
那么，當發(fā)射光譜的元素做加速運動時，將有類似引力紅移的光譜紅移現(xiàn)
象。
如果，是發(fā)射光譜的元素靜止，而觀測光譜的儀器和觀測者做加速運動，
將有光譜紫移現(xiàn)象。
除去多普勒效應，由振動頻率公式可得，光譜線發(fā)生紅移時，移動的頻率
為： （51）
是光子的固有振動頻率
很顯然，對于相對平直坐標系中的物體而言，當 時，物體進入類似黑洞事件視界的另一種事件視界。
參 考 文 獻
A.愛因斯坦 相對論的意義 科學出版社 1961
E.G.哈里斯 現(xiàn)代理論物理導論 上�？茖W技術出版社 1975
張鎮(zhèn)九 現(xiàn)代相對論及黑洞物理學 華中師范大學出版社 1986
王仁川 廣義相對論引論 中國科學技術出版社 1996
俞允強 廣義相對論引論 北京大學出版社 1997
趙崢 黑洞的熱性質與時空奇異性 北京大學出版社 1999 附 錄
（用時空對稱理論解釋光子軌線的引力偏折和水星近日點進動）
廣義相對論中求質點和光子的軌道方程時，取球坐標，認為運動滿足于
, （1）
協(xié)變動量 和 是守恒量，有
（2）
E和L的物理意義，為觀測者所測到的質點或光子的能量和角動量。
四維速度的歸一條件 有
（3）
得到質點的軌道微分方程
（4）
光子的軌道微分方程
（5）
廣義相對論用這兩個軌道微分方程解釋了光子的引力偏折和水星近日點
進動。
廣義相對論用來解釋引力紅移的方法也一樣適用于時空對稱理論。這里
就不重復了。只討論時空對稱理論解釋光子軌線的引力偏折和水星近日點進動。
因為時空對稱理論是用真實觀測值來解釋時空的理論。用它得到的Schw-
arzschild解有
（6）
（7）
固有時的關系有
（8）
固有長度的關系有
（9）
為時空密度， 為時間密度， 為空間密度。
按固有時和固有長度來看，觀測者在遠離引力場的坐標系，觀測引力場坐
標系有
（10）
是引力場坐標系固有時， 是遠離引力場的坐標系固有時， 是引力場坐標系運動平面角。這樣就有
（11）
因為兩個坐標系之間的能量 ，角度 ，角動量 和長度 的比較有
（12）（能量守恒）
（13） （ 項為零）
（14） （坐標系之間固有時和固有長度的比較）
（15） （坐標系之間固有長度的比較）
代入（11）式有
（16）
四維速度的歸一條件變?yōu)檎鎸嵱^測值有
（17）
將（16）式代入（17）式有
(18)
, 這就是時空對稱理論的引力場中的軌道微分方程。
能量E是遠離引力場中的觀測者觀測到引力場中的能量，為引力場坐標系與無窮遠處坐標系的能量差，數(shù)量級為 略去二級小量，時空對稱理論的軌道微分方程成為相對論的質點軌道微分方程
（4）
對于光子而言，角動量 ，因為光子在弱引力場中走的幾乎是直線，
可以認為光子繞無窮遠處某點做圓周運動。
（4）式 略去小量后，得到相對論的光子軌道微分方程
（5）
這樣，用時空對稱理論就可以解釋引力紅移，光子軌線的引力偏折和水星日
點的進動了。
參 考 文 獻
A.愛因斯坦 相對論的意義 科學出版社 1961
張鎮(zhèn)九 現(xiàn)代相對論及黑洞物理學 華中師范大學出版社 1986
王仁川 廣義相對論引論 中國科學技術出版社 1996
俞允強 廣義相對論引論 北京大學出版社 1997
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