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對(duì)數(shù)函數(shù)中與二次函數(shù)有關(guān)的問題
對(duì)數(shù)函數(shù)中與二次函數(shù)有關(guān)的問題 教學(xué)目的： 通過一些例題的講解 , 對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、圖象及二次函數(shù)的一些問題進(jìn)行復(fù)習(xí)，使學(xué)生加深對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí) , 能夠?qū)σ恍┯须y度的題進(jìn)行分析。 教學(xué)難點(diǎn)： 復(fù)合函數(shù)中定義域及值域的求解。 換元后新變量的定義域的確定。 教學(xué)過程： 在前段時(shí)間中我們學(xué)習(xí)了對(duì)數(shù)函數(shù)和它們的一些性質(zhì) , 下面我們就先來復(fù)習(xí)一下有關(guān)知識(shí) ( 點(diǎn)擊性質(zhì) , 見幻燈片 2) 。 下面我們來做兩道復(fù)習(xí)鞏固題。 1. 求 的定義域。 （要求一個(gè)比較復(fù)雜的函數(shù)的定義域，首先要看清這個(gè)復(fù)雜函數(shù)是由哪幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)構(gòu)成的．在此是三個(gè)以十為底的對(duì)數(shù)函數(shù)，所以我們只要考慮其真數(shù)部分要大于０即可．由此可列出三個(gè)不等式．習(xí)慣上用大括號(hào)括起來，表示要同時(shí)滿足．） 分析： x>0 ０可以寫成 lg1 ，而該函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，由此可解出． 綜上所述 x>10 。 2. 試比較 與 的大小。 對(duì)于一般的比較大小問題，我們可以通過函數(shù)的增減性來解決．這道題目顯然也是通過此途徑來解決．但是其給出的條件不是很明確，那么我們就只能先從對(duì)數(shù)函數(shù)本身的條件作為著手點(diǎn)． 解： 由這個(gè)條件，可以知道這個(gè)函數(shù)是單調(diào)遞增的，即真數(shù)大的函數(shù)值就大． （請(qǐng)學(xué)生口述，屏幕顯示．第三條可能不會(huì)考慮） 則有：當(dāng) x-1>3 即 x>4 時(shí)， ＞ 當(dāng) 0<x-1<3 即 1<x<4 時(shí)， ＜ 當(dāng) x-1=3 即 x=4 時(shí)， ＝ 上面兩題主要是讓同學(xué)們?cè)诮鉀Q對(duì)數(shù)函數(shù)問題的時(shí)候，要看清起定義域，對(duì)于約束條件要寫完整同時(shí)要注意一些隱藏條件，細(xì)致分析問題． 對(duì)于一般的對(duì)數(shù)函數(shù)中有關(guān)定義域、值域以及單調(diào)性問題我們能夠比較熟練的解決 , 但是我們?cè)谟龅降囊恍﹩栴}中往往對(duì)數(shù)函數(shù)不是單獨(dú)出現(xiàn)的 , 它總是和其他函數(shù)同時(shí)出現(xiàn) , 特別是二次函數(shù) , 那么如何來解決這類比較復(fù)雜的問題呢 ? 這就是我們這節(jié)課所要講的內(nèi)容。在講解例題之前我先強(qiáng)調(diào)一點(diǎn) , 我們做任何題 , 不管是簡(jiǎn)單的還是復(fù)雜的 , 關(guān)鍵的是抓住其基本性質(zhì) , 盡量把問題轉(zhuǎn)化到我們所熟悉的情況下進(jìn)行解決。 那么要把對(duì)數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)結(jié)合起來 , 最常見的就是復(fù)合函數(shù)。下面就先來看這么一道題 例 1 的單調(diào)遞增區(qū)間是（）。 A. B. C. D. 分析： 由于以 1/2 為底的對(duì)數(shù)函數(shù)是一個(gè)單調(diào)減函數(shù)，所以要求該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，也就是要求該二次函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間。下面我們就把問題轉(zhuǎn)化為解決二次函數(shù)的問題。對(duì)于該二次函數(shù)進(jìn)行配方 , 我們可以很容易看出是一個(gè)開口向上的拋物線 , 則其在 x 小于－ 1/2 時(shí)為單調(diào)遞減， x 大于－ 1/2 時(shí)為單調(diào)遞增。 那么該題是否到此為止了呢 ? 其實(shí)在此對(duì)于上面的二次函數(shù)是有范圍的，也就是說 即 x<-2 或 x>1 綜上所述，我們應(yīng)該選擇Ｂ 好 , 我們來看一個(gè)一般問題 , 對(duì)于類似與上面這題的復(fù)合函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間是怎樣的． 該二次函數(shù)圖象為一開口向上的拋物線。 若該拋物線與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn) 若該拋物線與 x 軸只有一個(gè)交點(diǎn) 若該拋物線與 x 軸沒有交點(diǎn) 若函數(shù) 的值域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù) , 求實(shí)數(shù) 的取值范圍。 按照通常的做法，要使函數(shù)有意義，必須有： 對(duì)一切實(shí)數(shù) x 都成立 ，即 其實(shí)當(dāng) 時(shí)， 可以看出 可見值域并非為 R ，說明上述解答有誤。 要使函數(shù) 的值域?yàn)?R, 即要真數(shù) 取遍所有正數(shù) , 故二次函數(shù) 的圖象與 x 軸有交點(diǎn) , 所以 , 得 或 。 故實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 我們?cè)诳紤]這類復(fù)合函數(shù)問題的時(shí)候 , 要仔細(xì)分析各函數(shù)的定義域和值域以及復(fù)合后的定義域和值域的變化。 以上這兩題中的二次函數(shù)是作為對(duì)數(shù)函數(shù)的一部分出現(xiàn)的 , 有的時(shí)候會(huì)和、反過來 , 對(duì)數(shù)函數(shù)作為二次函數(shù)的一部分出現(xiàn) , 下面我們來看這么幾道題。 若 , 且 , 求 的最值。 分析 : 既然是求 的最值 , 先對(duì)其整理 , 可得 : 而 。 這道題比較簡(jiǎn)單 , 但要注意對(duì)數(shù)的計(jì)算 , 在最后是通過配方求出最值的。 若 有兩個(gè)小于 1 的正根 , 且 ，求實(shí)數(shù) 的取值范圍。 分析 : 既然是對(duì)數(shù)函數(shù) , 我們先不管后面的條件 , 該怎么做就怎么做 , 即先化簡(jiǎn)函數(shù)方程。 則有 由于形式有點(diǎn)復(fù)雜 , 我們可以作個(gè)代換 , 在此 , 要注意 , 由于變量的代換 , 則其定義域也會(huì)隨之改變 , 有 : x<1, 則 t<0 下面由學(xué)生回答如何利用韋達(dá)定理列出一系列的不等式 : 在此題中 , 注意換元后 , 其變量的定義域的變化。 若 恰有一個(gè)實(shí)根 , 求實(shí)數(shù) 的取值范圍。 分析 : 這個(gè)式子中出現(xiàn)的對(duì)數(shù)函數(shù)和前面的有所不同 , 但我們首先做的工作就是把它化簡(jiǎn) , 只是這里和前面有所不同。前面是把真數(shù)部分的乘除化開來 , 而在這里是把對(duì)數(shù)的加減合起來。先把它化簡(jiǎn)我們可以得到 : 這時(shí)出現(xiàn)了同底對(duì)數(shù) , 但右邊前面有 2, 所以我們可以怎么樣 ? 我想把這個(gè) 2 除到左邊去 , 一方面是為了提醒大家 , 左邊的真數(shù)部分 2x 是大于 0 的 , 另一個(gè)作用我們下面會(huì)有用。于是我們得到了 : 下面就是分析方程 只有一個(gè)實(shí)數(shù)根的問題 如果在這里簡(jiǎn)單就認(rèn)為把其平方得到一個(gè)二次函數(shù) , 再令 即可的話 , 似乎總有點(diǎn)心有余悸 , 好象有問題。下面我介紹一種方法來具體研究。 我們可以把這個(gè)方程寫成兩個(gè)函數(shù)的形式 : 與 要求方程有一個(gè)實(shí)根 , 也就是說 , 這兩個(gè)函數(shù)的圖形有且僅有一個(gè)交點(diǎn)。 在下圖上我們可以看出在三種情況下 , 兩個(gè)圖只有一個(gè)交點(diǎn)。 于是我們可以列出式子 : 最后解得 : 在這里 , 我們充分利用了圖形來解決根的問題。 備用題 : 為常數(shù) , 試分析方程 的解的情況。 小節(jié) : 第一組為復(fù)合函數(shù)中有關(guān)定義域、值域的問題。注意兩點(diǎn)：一是復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問題；另一個(gè)是整個(gè)函數(shù)的定義域的求解。 第二組為含有對(duì)數(shù)函數(shù)的復(fù)雜函數(shù)，通過換元可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)進(jìn)行解題。也注意兩點(diǎn)：一是對(duì)數(shù)運(yùn)算的熟練運(yùn)用；另一個(gè)是二次函數(shù)中根的存在性分析。 在解決對(duì)數(shù)函數(shù)問題時(shí)，注意隱含的限制條件，對(duì)其定義域、值域要細(xì)致分析。 教學(xué)后記： 由于是多媒體授課 , 在題目運(yùn)算較為復(fù)雜的時(shí)候 , 過程直接出現(xiàn)在屏幕上 , 使學(xué)生沒有時(shí)間自己進(jìn)行計(jì)算 , 今后的教學(xué)中應(yīng)值得注意。
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