化抽象為直觀，由感性到理性

化抽象為直觀，由感性到理性

——圓面積教學(xué)的嘗試
    圓是小學(xué)數(shù)學(xué)幾何圖形教學(xué)的最后一部分內(nèi)容。它是在學(xué)生學(xué)習(xí)了直線圖形以及圓的認(rèn)識(shí)和周長(zhǎng)之后進(jìn)行 的。在此之前，學(xué)生雖然已經(jīng)學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形、正方形、三角形、梯形等幾何圖形知識(shí)，但是在圓的面積公式教 學(xué)中，涉及到以直代曲的轉(zhuǎn)化過程及極限的思想，認(rèn)識(shí)進(jìn)入了一個(gè)新的領(lǐng)域，這對(duì)于抽象思維能力較低的小學(xué) 生來說，是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)。為了突破這一難點(diǎn)，我采用直觀演示法進(jìn)行教學(xué)，化抽象為直觀，用極限的思想展 示以直代曲的轉(zhuǎn)化過程，使學(xué)生對(duì)圓面積公式的推導(dǎo)有一鮮明、正確的感性認(rèn)識(shí)。下面談?wù)勎覍?duì)這一內(nèi)容的教 學(xué)設(shè)想。
    一、分割圓面，認(rèn)識(shí)曲直關(guān)系
    1.教師演示。將一個(gè)圓對(duì)折兩次，并沿折痕剪開，貼在黑板上，如圖（1）所示。指導(dǎo)學(xué)生分析觀察，并設(shè) 問：（1）圖1 是由哪些線組成的？（2）這些線與圓的半徑和周長(zhǎng)有何關(guān)系？
    附圖{圖}
    圖（1）
    接著再將圖（1）中的四個(gè)圖形分別對(duì)折、剪開并貼在黑板上， 如圖（2）所示。
    附圖{圖}
    圖（2）
    指導(dǎo)學(xué)生觀察分析并回答：比較圖（1）與圖（2），有何異同？半徑變了沒有？周長(zhǎng)變了沒有？隨著圓等 分份數(shù)的增加，圓周曲線的彎度有什么變化？
    通過教師的演示，使學(xué)生初步觀察并感知到隨著圓等分份數(shù)的增多，曲線逐漸變“直”了。
    2.學(xué)生操作。教師指導(dǎo)學(xué)生按以上操作，將圓等分，觀察圓的曲線變化的情況，折剪次數(shù)盡可能多一些。 在學(xué)生操作和觀察的基礎(chǔ)上，教師啟發(fā)學(xué)生思考：如果將圓不斷等分下去，這個(gè)圓所等分的圓弧組成的曲線最 終將變成什么樣子？在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，教師小結(jié)：如果我們把一個(gè)圓等分成很多近似的等腰三角形排起來 ，等分得越細(xì)，圍成圓的那條曲線就越接近于直線。通過以上講解，為學(xué)生理解課本中：“等分的份數(shù)越多， 拼成的圖形就越接近于長(zhǎng)方形”奠定了基礎(chǔ)。同時(shí)，在學(xué)生的動(dòng)手操作中自然而然地滲透了“極限”的思想。
    二、用三角形拼組圓，進(jìn)一步理解曲直關(guān)系
    在以上教學(xué)的基礎(chǔ)上，可用三角形拼組圓，使學(xué)生進(jìn)一步理解曲線和直線在一定條件下是可以互相轉(zhuǎn)化的 。
    附圖{圖}
    圖（3）
    按圖（3）所示，讓每一個(gè)學(xué)生拿出一張長(zhǎng)方形紙， 沿其對(duì)邊中點(diǎn)的連線對(duì)折兩次，成一小正方形；再以 正方形雙層邊的交點(diǎn)為頂點(diǎn)對(duì)折，成一直角三角形。又以原頂點(diǎn)，將雙層直角邊和斜邊對(duì)折，重復(fù)對(duì)折數(shù)次， 成一疊三角形，然后剪去單層邊，使之成為一疊等腰三角形，最后全部展開，形成一個(gè)“近似圓”，如圖（4） 所示。
    附圖{圖}
    圖（4）
    引導(dǎo)學(xué)生觀察這個(gè)“近似圓”，問學(xué)生：
    （1）這個(gè)“近似圓”是由許多什么圖形拼成的？
    （2）如果折的次數(shù)越多， 形成的“近似圓”的三角形的底邊將越短，它們所組成的圖形越接近于什么圖 形？
    在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出：如果所組成的小三角形的個(gè)數(shù)越多，由這些小三角形底邊所 圍成的“近似圓”就越接近于圓。這里再次滲透了“極限”思想，說明直線在一定條件下可以轉(zhuǎn)化成曲線，為 “圓面積”計(jì)算公式的推導(dǎo)打下基礎(chǔ)。
    三、通過把圓分割拼組成“近似長(zhǎng)方形”的演示，推導(dǎo)出圓面積的計(jì)算公式
    這時(shí)，教師可趁熱打鐵，出示圓面積演示儀，演示并讓學(xué)生觀察如何把一個(gè)圓平均分成16等份，使之拼成 一個(gè)“近似長(zhǎng)方形”。然后提問：
    1.如何使這個(gè)“近似長(zhǎng)方形”的長(zhǎng)越來越接近“直線”，使之變成長(zhǎng)方形呢？
    2.這個(gè)拼成的“近似長(zhǎng)方形”的長(zhǎng)和寬是圓的哪一部分，二者有何關(guān)系？
    3.這個(gè)拼成的長(zhǎng)方形的面積與原來圓面積有何關(guān)系？
    教師在引導(dǎo)學(xué)生回答后，總結(jié)、板書如下：
    1.這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是被等分圓的周長(zhǎng)的一半，即：
    長(zhǎng)方形的長(zhǎng)＝C／2＝2πr／2＝πr
    2.這個(gè)長(zhǎng)方形的寬是被等分圓的半徑（r）。
    3.被等分圓的面積等于所拼成的長(zhǎng)方形的面積。即：
    長(zhǎng)方形的面積＝ 長(zhǎng) × 寬
    ┃ ↑ ↑
    ┃ ↓ ↓
    圓 的 面 積＝ πr × r＝πr[2]
    四、巧設(shè)練習(xí)，鞏固知識(shí)
    1.回答以下問題。
    （1）圓面積的計(jì)算公式是怎樣推導(dǎo)出來的？
    （2）比較圓的周長(zhǎng)和圓的面積計(jì)算公式的異同。 他們計(jì)算結(jié)果的單位相同嗎？
    （3）求圓的面積時(shí)必須知道哪個(gè)量？ 這個(gè)量的單位和計(jì)算出的圓面積的單位有什么關(guān)系？
    （4）想想看，如果知道圓的直徑或周長(zhǎng)時(shí)該怎樣求圓的面積？
    2.選擇題。
    （1）在圓面積公式S＝πr[2]中，r[2]表示（ ）。
    ①2r ②r×r ③r＋r
    （2）一個(gè)圓的半徑擴(kuò)大3倍，圓面積就擴(kuò)大（ ）倍。
    ①3 ②6 ③9 ④28.26
    （3）大圓直徑為6厘米，小圓的直徑為4厘米， 小圓的面積是大圓面積的（ ）。
    ①2／3 ②5／6 ③4／9 ④1／9
    （4）一個(gè)圓的周長(zhǎng)是25.12分米，它的面積是（ ）平方分米。
    ①50.24 ②25.12 ③3.14
    （5）半徑為2米的圓的周長(zhǎng)和面積（ ）。
    ①相等 ②不相等 ③不能比較
    通過以上練習(xí)，不但鞏固了學(xué)生所學(xué)知識(shí)，而且通過信息反饋，及時(shí)了解學(xué)情，針對(duì)教學(xué)中存在的問題， 及時(shí)進(jìn)行回授。

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一次作業(yè)評(píng)講中的研究性學(xué)習(xí)

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平行四邊形的識(shí)別的進(jìn)一步探索

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數(shù)學(xué)課堂生活化

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