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數(shù)學概括及在數(shù)學學習中的作用
數(shù)學概括及在數(shù)學學習中的作用 一、數(shù)學概括 數(shù)學概括是一種特殊的概括，這是由數(shù)學學科的特點所決定的。數(shù)學概括是在數(shù)學符號、數(shù)量和空間關系、數(shù)學對象和運算等方面的概括。它具有以下顯著的特點： 1．數(shù)學研究對象本身已是概括的產(chǎn)物我們知道，數(shù)學的研究對象是客觀世界的數(shù)量關系和空間形式。它取自于客觀世界，但卻不是現(xiàn)實中的真正原型，而是從現(xiàn)實世界中概括出來的數(shù)學模型－－事物中的純數(shù)量關系和空間形式。例如自然數(shù)、點、線、面等原始概念，就是從現(xiàn)實世界中概括出來的。 2．數(shù)學概括具有層次性 數(shù)學概括是在概括基礎上所進行的再概括，數(shù)學是從原始概念開始，在此基礎上進行新的抽象，從而得到概括程度更高的新概念。在數(shù)學中往往要進行一系列地、逐級地概括，由此可得到概括水平越來越高的概念、法則和方法。這恰是數(shù)學在抽象思維方面具有相對封閉性的原因所在。正如德國數(shù)學家漢克爾的生動描述：“在大多數(shù)的學科里，一代人的建筑為下一代人所拆毀，一個人的創(chuàng)造被另一個人所破壞，唯獨數(shù)學，每一代人都在這古老的大廈上添加一層樓�！边@表明數(shù)學的發(fā)展表現(xiàn)為明顯的概括性質：它的每一次發(fā)展都把原來的數(shù)學作為某種特例包含在新的數(shù)學中去。例如數(shù)系的擴張；中學里對三角函數(shù)的概括；從數(shù)列極限到函數(shù)極限的概括。從定理內容上也可體會出數(shù)學概括的層次性，例如數(shù)學歸納法定理。 3．數(shù)學概括用數(shù)學語言來表述 數(shù)學概括的表述使用了特殊的語言體系－－特定的符號體系－－數(shù)學語言體系。而且這種表述形式貫穿于數(shù)學概括過程的始終。我們知道，語言是思維的載體。自然語言雖然可在一定程度上來表達數(shù)學，但卻不能達到完美精確的程度，因此數(shù)學工作者在自然語言的基礎上創(chuàng)造出了數(shù)學語言－－數(shù)學中特有的形式化符號體系。它是人類自然語言的進一步概括。有了數(shù)學語言，數(shù)學研究的思維過程和結果就可精確簡練地表出。 二、數(shù)學概括在數(shù)學學習中的作用學生的數(shù)學學習，主要表現(xiàn)為數(shù)學知識、數(shù)學能力和數(shù)學思維活動的學習。 而所有這些學習都是以數(shù)學概括為基礎，都離不開數(shù)學概括能力的支持與輔佐。 在此僅以數(shù)學能力的學習為例。中學數(shù)學教學大綱明確指出：“通過數(shù)學教學，要培養(yǎng)學生具有正確迅速的運算能力，邏輯思維能力和空間想象能力，從而逐步培養(yǎng)運用數(shù)學分析和解決實際問題的能力�！� 在運算能力方面，欲達“正確迅速”目的，就需在各類運算中概括出相應的運算規(guī)律，將其歸納為一般形式。 數(shù)學概括在培養(yǎng)學生邏輯思維能力方面的作用也十分重要。邏輯思維是人類揭示客觀世界的本質和規(guī)律的極其重要的思維活動，它幾乎滲透到人類獲取所有理論和新認識的每一過程，而數(shù)學則是體現(xiàn)邏輯最徹底的一門學科。學生在學習中遵循著數(shù)學的邏輯規(guī)律，他們從最基儲最簡單的數(shù)學概念出發(fā)，在這些基本概念的基礎上進行概括，得到概括程度更高的新概念。例如：在初中，僅研究0°－360°間角的三角函數(shù)，到了高中，通過角概念的推廣和弧度制的引入，概括出任意角三角函數(shù)，并從集合和映射的觀點出發(fā)加以研究。即在數(shù)學思想方法上也采用了概括性更強的更一般的方法－－集合和映射的思想方法。由上述各例可看出，學生邏輯思維能力的形成和發(fā)展離不開數(shù)學概括，數(shù)學概括不僅影響著學生邏輯思維的形成和發(fā)展，而且決定著學生邏輯思維的水平和質量，概括水平越高，其邏輯思維的能力就越強。 數(shù)學概括在培養(yǎng)和形成學生的空間想象能力大小更是不可或缺。因為空間想象能力的形成不僅需要按部就班的邏輯推理過程，而且需要有猜想、想象、直覺等靈感思維的幫助，而直覺思維更離不開數(shù)學概括的支持，盡管它有時表現(xiàn)的并不那么直接，但卻是頭腦所積累的數(shù)學概括水平的綜合運用，需要具備更高的數(shù)學概括能力。因為在三維立體空間（現(xiàn)實空間）或更高維的空間（非現(xiàn)實空間）中考察數(shù)學問題時，它與空間的相關性增強了許多，它的位置關系，空間形式和數(shù)量關系都有了更豐富的內涵（與二維相比），這勢必要求在數(shù)學概括上應具有更高的水平。例如，在平面內，對一個直角三角形的研究僅限于邊、角關系的討論，但在立體空間，除此以外（這種關系已經(jīng)縮小到在同一平面討論問題的范圍）還存在著它與空間平面、空間直線的各種位置關系、空間形式及數(shù)量關系等。比如立體幾何中的三垂線定理和逆定理，說的就是直角三角形的斜邊與平面直線的位置關系，這種關系的尋找與確定就需要更廣泛的數(shù)學概括。 空間想象能力還表現(xiàn)在對現(xiàn)實空間中幾何物體的數(shù)學發(fā)現(xiàn)上。例如人們對蜂房的數(shù)學發(fā)現(xiàn)乃至物理發(fā)現(xiàn)：蜂房底部菱形的銳角是70°，這個尺寸經(jīng)推算知，在體積一定的條件下它可使蜂房的表面積為最小，即用料（蜂蠟）最省，不僅如此，蜂房的特殊形：側面是六棱柱，底由三全等菱形組成的倒角錐面，其物理性能也十分的好，它抗壓、防震、輕巧而堅固，所有這些結果都是將其概括為數(shù)學問題所取得的。
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