巧設(shè)單位“１”解答行程難題

巧設(shè)單位“１”解答行程難題    （吳乃華 湖北仙桃市通�？谛�學(xué)）
    解答行程問題，一般都要有路程、速度、時(shí)間三種量中的任意兩個(gè)量。但是，在一類競賽題中，往往只有 時(shí)間這一種量，根本不明示兩個(gè)運(yùn)動(dòng)體的相向相遇，或者同向追及是在多少路程中發(fā)生的，因此，給解題增加 了一定的難度。
    如果在解答的過程中，能根據(jù)題意恰當(dāng)?shù)卦O(shè)某段路程為單位“１”，以此為尺子，來度量兩個(gè)或幾個(gè)運(yùn)動(dòng) 體在不同的時(shí)間內(nèi)，所行駛的路程的長短，這樣，就能使數(shù)量關(guān)系明朗化，就能駕輕就熟，將問題化難為易。
    例１ 甲、乙、丙三人各以一定的速度，從Ａ地到Ｂ地，丙出發(fā)５分鐘后乙才出發(fā)，乙用２５分鐘追上丙 ；甲又比乙晚出發(fā)５分鐘，經(jīng)過４０分鐘才追上丙。甲出發(fā)后，需用多少分鐘才能追上乙？
    解 設(shè)乙追上丙所走的這段路程為單位“１”，則 乙每分鐘能行這段路程的１／２５；丙每分鐘能行這 段路程的１／（２５＋５）＝１／３０；
    根據(jù)“丙出發(fā)５分鐘后乙才出發(fā)”、“甲又比乙晚出發(fā)５分鐘”，則甲比丙晚出發(fā)１０分鐘。因此，當(dāng)甲 出發(fā)時(shí)，丙已行駛了這段路程的１／３０×１０＝１／３。甲追上丙，比丙多行了這段路程的１／３，花了４ ０分鐘。根據(jù)追及問題的關(guān)系式，可知甲比丙每分鐘多行這段路程的１／３÷４０＝１／１２０。因此，
    甲每分鐘能行這段路程的１／３０×（５＋５）÷４０＋１／３０＝１／２４。
    通過所設(shè)的乙追上丙所走的這段路程為單位“１”，已推出了甲和乙速度之間的關(guān)系，因而甲追上乙所需 的時(shí)間就可知是
    （１／２５）×５÷（１／２４－１／２５）＝１２０（分）
    例２ 某人沿公路騎自行車勻速前進(jìn)。他發(fā)現(xiàn)這一公路上的公共汽車，每隔２０分鐘就有一輛車超過他， 每隔１２分鐘就有一輛車和他迎面相遇。如果這路車的兩個(gè)車站，都以間隔相同的時(shí)間發(fā)一輛車，那么，每隔 多少分鐘發(fā)一輛車？
    解 由于兩個(gè)車站都是以間隔相同的時(shí)間發(fā)車，所以在這兩個(gè)車站間的這段公路上，不論是什么時(shí)刻，同 向行駛的所有車輛，兩車間的距離都是相等的。如果把這兩車間的間距設(shè)為單位“１”。題中“每隔２０分鐘 就有一輛車超過他”，即自行車和汽車同向前進(jìn)，汽車比自行車多行一個(gè)“間距”，需２０分鐘，也就是每分 鐘汽車比自行車多行“間距”的１／２０（速度差）；“每隔１２分鐘就有一輛車和他迎面相遇”，同樣可知 ，自行車和汽車在一分鐘內(nèi)，能共行“間距”的１／１２（速度和）。
    已知自行車和汽車在１分鐘內(nèi)的速度的“和”與“差”，由和差問題的關(guān)系式，可知汽車每分鐘能行“間 距”的（１／２０＋１／１２）÷２＝１／１５。
    因此，這路車發(fā)車的間隔時(shí)間為
    １÷〔（１／２０＋１／１５）÷２〕＝１５（分）
    例３ 甲騎自行車到城里去辦事，走后，乙發(fā)現(xiàn)他忘了一物，立即騎摩托車去追，乙追了１５分鐘還沒追 上，連忙問路旁的人，路旁的人回答說：“甲在２０分鐘前經(jīng)過這里�！币铱纯词直恚�這時(shí)離甲出發(fā)時(shí)間一小 時(shí)。乙需再行幾分鐘就能追上甲？
    解 “乙追了１５分鐘還沒追上”，如果把乙追甲這１５分鐘所行的這段路程看作單位“１”，那么乙每 分鐘可行這段路程的１／１５。由題中條件可知，甲已出發(fā)一小時(shí)，并在２０分鐘前經(jīng)過這里，說明甲走這段 路程花了６０－２０＝４０（分）鐘，可知，甲每分鐘能行這段路程的１／４０，并且還可以推知，當(dāng)乙詢問 路旁人時(shí)，乙還距甲的路程是這段路程（單位“１”）的１／４０×２０＝１／２，根據(jù)追及問題的關(guān)系式， 可以求得乙還需多少分鐘才能追上甲，因此，本題的綜合算式是：
    １／（６０－２０）×２０÷〔１／１５－１／（６０－２０）〕＝１２（分）
    這類題，單位“１”的確定，關(guān)鍵是確定一個(gè)與諸多因素相關(guān)聯(lián)的可比量。這類題同樣可以有多種解法， 不過從確立單位“１”這個(gè)角度來解答，一方面與小學(xué)生知識(shí)聯(lián)系緊密，輕車熟路，另一方面也可以培養(yǎng)學(xué)生 在根據(jù)條件確立單位“１”的過程中，提高學(xué)生的分析判斷能力。

1

2

3

一次作業(yè)評(píng)講中的研究性學(xué)習(xí)

4

平行四邊形的識(shí)別的進(jìn)一步探索

5

6

數(shù)學(xué)課堂生活化

7

8

9

10