“數(shù)的整除性”美在何處？

“數(shù)的整除性”美在何處？

數(shù)學(xué)家揭示了美的數(shù)學(xué)概念和邏輯結(jié)構(gòu)，但是數(shù)學(xué)美卻不象藝術(shù)美那樣外顯，它是美的高級形式，是理論 思維與審美意識交融的產(chǎn)物。對于學(xué)生來說，由于受年齡、知識水平、審美能力的限制，很難把數(shù)學(xué)中的美的 真正意蘊(yùn)充分體味出來。為把數(shù)學(xué)的教學(xué)過程變?yōu)閿?shù)學(xué)的審美過程，這就對教師提出了一個(gè)非�，F(xiàn)實(shí)的問題： 必須深入發(fā)掘、精心提煉數(shù)學(xué)教材中的美育因素，要對教材進(jìn)行一番分析概括和生動直觀的整體性認(rèn)識，使教 材內(nèi)容成為教師腦海中非常直觀淺顯的東西，才能不失時(shí)機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生去體會數(shù)學(xué)中內(nèi)蘊(yùn)的美的獨(dú)特品質(zhì)。為 此，本文針對小學(xué)五年級教材“數(shù)的整除”一章，具體剖析數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)。
    一、結(jié)構(gòu)美：法國數(shù)學(xué)家龐加萊說：“數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美是指一種內(nèi)在的美，它來自各部分的和諧有序，并能 為純粹的理智所領(lǐng)會，可以說正是這種內(nèi)在美給了滿足我們感官的五彩繽紛美景的骨架，……。”“數(shù)的整除 ”一章是《初等數(shù)論》中的一部分，為了照顧小學(xué)生的年齡特點(diǎn)，在教材中進(jìn)行了簡化處理，但其整體結(jié)構(gòu)還 是非常完美的，如下圖：
    （附圖 {圖}）
    由圖看出：本章以倍數(shù)、約數(shù)為核心構(gòu)建了知識的結(jié)構(gòu)美。著名數(shù)學(xué)家華羅庚說，善于退，退到最原始的 而不失重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅。教師在教學(xué)中應(yīng)把核心知識打牢，把用處最多的最大公約數(shù)、 最小公倍數(shù)練熟，在學(xué)生的頭腦中形成完美的知識結(jié)構(gòu)，這樣就為學(xué)生學(xué)習(xí)后面的知識打了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
    又如：將60分解質(zhì)因數(shù)
    （附圖 {圖}）
    這種分解法，逐層展示60內(nèi)部的結(jié)構(gòu)美，層次清楚，操作方便，同時(shí)又顯現(xiàn)出簡潔美。
    二、語言美：本章漢語言的敘述極其概括嚴(yán)密、簡潔、有序，給讀者以美的感受。如本章開頭僅用108個(gè)字 就把自然數(shù)、0、整數(shù)的概念及“數(shù)的整除”所研究的數(shù)交代清楚，深入體味，這108個(gè)字就給人們以簡潔、有 序的和諧美感。
    我國古代常用形象的語言去描述概念，借助生動的比喻去理解題意。明代程大位在《算法統(tǒng)宗》里用四句 優(yōu)美的詩來表達(dá)“韓信點(diǎn)兵”問題的解法，詩曰：
    “三人同行七十稀，
    五樹梅花廿一枝，
    七子團(tuán)圓正半月，
    除百零五便得知�！�
    這首優(yōu)美的詩，把枯燥的數(shù)字，賦在人和美麗的梅花上；又把70與成語，15與月半，巧妙地聯(lián)系在一起， 語言通俗生動，朗朗上口的韻律，既有音樂之美，又有記憶之效。反映了數(shù)學(xué)語言美的感染力。
    數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)是一種世界公認(rèn)的特殊的數(shù)學(xué)語言。本章11處用圈代表韋恩圖，借助韋恩圖滲透集合思想， 并把運(yùn)算過程扼要地表現(xiàn)出來，是語言美的精彩之處。古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，把均衡與對稱作為美的主要標(biāo) 準(zhǔn)，他們把圓或橢圓視為最完美的幾何圖形，因?yàn)樗鼈兊暮唵涡�、整齊性、對稱性，給人以美感。因此，本章 用圈代表韋恩圖也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)形態(tài)美。
    三、方法美：美的數(shù)學(xué)方法是指在解決復(fù)雜問題中，體現(xiàn)出來的美妙之處使心靈感到一種愉快的驚奇。本 章為了照顧小學(xué)生的年齡特點(diǎn)，均采用了由例子引出定義、由例子引出方法、由例子引出定理的觀察法。在邏 輯方法上，叫不完全歸納法。這樣符合學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律，使學(xué)生在具體、形象、生動的審美感受中，愉快地接 受了數(shù)學(xué)理論。教師要首先體味教材中的方法美，再適當(dāng)補(bǔ)充些類似的例子，幫助、引導(dǎo)學(xué)生自己去歸納、總 結(jié)、發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使枯燥無味的數(shù)學(xué)教學(xué)變成生動活潑的審美過程。
    例如：整除的定義、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、質(zhì)因數(shù)、公約數(shù)、公倍數(shù)的定義，都是在充分觀察例子的基礎(chǔ)上，然后 給出定義。
    在分析例子的基礎(chǔ)上，歸納得出分解質(zhì)因數(shù)的方法，求最大公約數(shù)的方法，求最小公倍數(shù)的方法。
    尤其精彩的是：本章借助韋恩圖，將自然數(shù)乘以2、5、3得到一個(gè)新的集合，滲透了集合、逆推、映射思想 ，設(shè)置了觀察能被2、5、3整除的環(huán)境。這樣既避免了繁瑣的邏輯推理，又便于學(xué)生觀察、歸納、總結(jié)出能被2 、5、3整除的數(shù)的特征，是一種很美妙的方法。請看：右邊圈里的數(shù)，個(gè)位數(shù)有什么特征。
    （附圖 {圖}）
    圖中的省略號，開啟學(xué)生的想象力，體現(xiàn)有限與無限的統(tǒng)一美。
    為了形象、直觀地表示最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)，本章借助韋恩圖，用交集深刻地揭示了“公”的本質(zhì)。 如：
    （附圖 {圖}）
    這既是一種方法美，又是一種形態(tài)美。
    在數(shù)學(xué)史上，無論是一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支的產(chǎn)生，還是具體給出一個(gè)概念的定義，都經(jīng)歷過一個(gè)積累經(jīng)驗(yàn)材 料的時(shí)期。從大量觀察、實(shí)驗(yàn)得來的材料發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，總結(jié)出數(shù)學(xué)定理或新概念，這是數(shù)學(xué)研究工作中最初步 的然而又是最基本的工作�！皵�(shù)學(xué)王子”高斯說過，他的許多發(fā)現(xiàn)都是靠歸納法取得的。不完全歸納法雖然不 能作為嚴(yán)密的論證方法，但是它能使我們迅速發(fā)現(xiàn)一些數(shù)量關(guān)系的規(guī)律，為我們提供研究方向。素?cái)?shù)分布論中 許多著名定理，如素?cái)?shù)定理、貝特朗定理、狄里克雷定理等，都是先用不完全歸納法從經(jīng)驗(yàn)概括出來成為猜想 ，然后再經(jīng)過嚴(yán)格數(shù)學(xué)推導(dǎo)，設(shè)法給予證明的。當(dāng)然還有的猜想至今未得到證明，如：
    6=3+3， 8=3+5， 10=5+5， 12=5+7，
    14=7+7， 16=3+13，18=5+13，20=7+13，
    22=3+19，24=5+19，26=3+23，28=5+23，
    ……
    由此歸納出可能有：凡是大于4的偶數(shù)都是二個(gè)奇素?cái)?shù)之和，這就是著名的哥德巴赫猜想。這個(gè)猜想直到現(xiàn) 在還沒有肯定的或否定的答案，我們認(rèn)為肯定的可能性很大。這個(gè)問題現(xiàn)在最好的結(jié)果是：每一充分大的偶數(shù) ，都是一個(gè)素?cái)?shù)及一個(gè)不超過二個(gè)素?cái)?shù)的乘積之和。這是由著名數(shù)學(xué)家陳景潤證明的。
    這里需要指出：關(guān)于哥德巴赫猜想、費(fèi)爾馬大定理等世界著名難題是不可能只用初等數(shù)論方法而得到證明 的。希望有青年不要走入歧途。

1

2

3

一次作業(yè)評講中的研究性學(xué)習(xí)

4

平行四邊形的識別的進(jìn)一步探索

5

6

數(shù)學(xué)課堂生活化

7

8

9

10