求組合圖形面積的基本解法與思路（下）

求組合圖形面積的基本解法與思路（下）

如果一個陰影部分所示的圖形既不是基本圖形，也不能通過分解、隔離、組合、平移、旋轉(zhuǎn)和割補等方法 轉(zhuǎn)化成基本圖形或其相加減的形式時，應該怎么求解呢？如前面所介紹的方框圖所示，這時可運用一些特殊的 方法進行分析解答。
    倍分比較法
    有些求面積問題，往往已知甲圖形的面積卻要求乙圖形的面積，這時，可通過尋找甲乙兩圖形之間存在的 關(guān)系去求解。這個關(guān)系就是兩圖形面積之間的倍率（幾倍）或分率（幾分之幾）關(guān)系。這種思路往往是通過添 加合適的輔助線來構(gòu)成等底等高的三角形（或其它面積有倍分關(guān)系的圖形）來進行比較和解答的。
    例１．如圖１所示，三角ABC的面積為１００平方厘米，D、E、F分別為三條邊的四、五、六等分點。求三 角形DEF的面積。
    （附圖 {圖}）
    （１）
    分析解答：根據(jù)題中的已知條件我們可推想，所求面積與已知面積之間存在著一種倍分關(guān)系，因為“兩三 角形如等高，則其面積之比等于相對應底邊長的比”。所以，我們來“創(chuàng)造”這樣的三角形來幫助解答。連接 BD，由于AF＝５／６AB，所以三角形AFD的面積占三角形ABD面積的５／６，而三角形ABD的面積又剛好是三角形 ABC面積的１／４（因為AD＝１／４AC），所以，三角形AFD的面積占三角形ABC面積的分率為１／４×５／６＝ ５／２４。同理，三角形FBE和三角形ECD所占分率分別為４／５×１／６＝２／１５，３／４×１／５＝３／ ２０。因此，所求三角形DEF面積所占的分率為１－５／２４－２／１５－３／２０＝６１／１２０，其面積為 １００×６１／１２０＝５０．８（平方厘米）。
    字母代換法
    有些問題直接用算術(shù)方法解答不方便，我們可以設(shè)字母來代換。這些字母可以是所求量，也可以是中間量 ，它們有時只起媒介作用，在求解過程中，作為一個整體或一個數(shù)參加運算，在計算中互相抵銷或被替代。有 時卻需要通過比較、代換等簡單代數(shù)運算求出它們所代表的數(shù)值后再尋求問題的答案。
    例２．用一條長７５分米的鐵絲圍成一個平行四邊形的框架，要求它的兩條高分別為１４分米、１６分米 （如圖２所示），這個平行四邊形的面積是多少？
    （附圖 {圖}）
    （２） 分析解答：條件中告訴了兩條高的長度。因為在同一平行四邊形中，由于面積一定，由“平行四 邊形面積＝底×該底邊上的高”可看出：高與對應的底邊成反比例關(guān)系，所以可以用設(shè)字母等量代換的方法進 行解答。設(shè)與兩條高相對應的底邊分別長a分米和b分米，面積為S平方分米，可得a×１４＝b×１６＝S，a＝S ／１４，b＝S／１６而“a＋b”為周長的一半，等于７５／２分米，所以有S／１４＋S／１６＝７５／２，即 S×（１／１４＋１／１６）＝７５／２；因此，所求平行四邊形的面積為：
    （附圖 {圖}）
    極端處置法
    一般來說，任何事物既遵循某種規(guī)律，又有其特殊性，而其特殊性往往反映出了它的普遍性規(guī)律。在解答 有些問題時，我們可以用變化的觀點將圖形設(shè)想于某一特殊情形來考慮，這樣，往往能絕處逢生，找到解題途 徑。
    例３．邊長分別為４和３的兩個正方形，如
    （附圖 {圖}）
    （３）
    分析解答：此題是求兩個正方形未重疊部分的面積之差是多少。從圖中可看出，空白部分可大可小，直接 計算很難解答。如果我們這樣想：當這兩個正方形完全分離時，它們的面積之差是４［２］－３［２］＝７。 當它們重疊時，就等于兩個正方形的面積都分別減去重疊部分的面積，由于減去的面積相同，故其差仍不變。
    比例傳遞法
    如果兩個長方形的長（或?qū)挘┫嗟�，那么，它們的面積與它們的寬（或長）對應成比例。根據(jù)這一性質(zhì)， 我們有時可以通過長度之間的比例關(guān)系將已知的面積數(shù)量傳遞給未知的面積，也可以通過面積的比例關(guān)系將已 知線段的長度傳遞給未知線段。
    例４．如圖４所示，長方形被互相垂直的幾條線段分成九塊。其中①～⑤號五塊的面積數(shù)與它們所標的代 號數(shù)相同，求這個長方形的面積。
    （附圖 {圖}）
    （４）
    分析解答：如果能求出⑥～⑨號四塊圖形的面積，問題就解決了。由圖可知：⑥～⑨號圖形都與其相鄰長 方形或共長，或共寬。如④號圖形與⑨號圖形的面積比等于②號圖形與①號圖形的面積比，等于２：１，即可 求得⑨號圖形的面積為２。同理可求出⑥～⑧號圖形的面積分別為２．５、７．５和６。所以，大長方形的面 積為：
    １＋２＋３＋４＋５＋２＋２．５＋７．５＋６＝３３
    重疊法
    有些圖形中的陰影部分是由若干個基本圖形重疊而成的，且重疊遵循一定的規(guī)律，此類問題可用“重疊法 ”解答。
    例５．求圖５陰影部分的面積。
    （附圖 {圖}）
    （５）
    先將原圖進行分解，可以看出：圖中陰影部分是在直角三角形內(nèi)，以兩底角頂點為圓心，圓心角為４５° 的二個扇形的重疊部分構(gòu)成的。所以陰影部分面積可用兩圓心角為４５°扇形的面積和減去直角三角形面積的 差來求得（如圖６所示）。由此可見，若甲、乙兩圖形共同填滿丙圖形并且有部分重疊或多余，那么，這一部 分面積即為：甲面積＋乙面積－丙面積。再如圖７，四個半圓填滿正方形并重疊為“梅花瓣”狀陰影，求此陰 影部分面積即為：四個半圓面積之和減去正方形面積所得的差。
    （附圖 {圖}）
    （６）
    （附圖 {圖}）
    （７）

    上面介紹的是一些常用解組合圖形的方法和技巧。由于組合圖形千變?nèi)f化，不可能有一固定的解題模式。 對于具體的問題應該進行具體的分析，在認真分析題意的基礎(chǔ)上，靈活發(fā)揮和借鑒上述解題的思想方法，一般 的組合圖形面積問題都可以順利求解。

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一次作業(yè)評講中的研究性學習

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平行四邊形的識別的進一步探索

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數(shù)學課堂生活化

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