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從一個(gè)土豆大小談起
從一個(gè)土豆大小談起 這是一堂數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課。同學(xué)們根據(jù)復(fù)習(xí)內(nèi)容——立體圖形的體積計(jì)算，早把學(xué)具一一作了準(zhǔn)備。有的拿來(lái) 了長(zhǎng)方體的鐵盒，有的拿來(lái)了正方體的紙盒，有的拿來(lái)了圓柱形的鐵桶，有的拿來(lái)了圓錐形的量杯……誰(shuí)知老 師卻提來(lái)半桶水和一包細(xì)砂土，還帶來(lái)一架稱重量的天平，弄得同學(xué)們“丈二和尚摸不頭腦”，紛紛議論“老 師要干什么呀？”“是不是換復(fù)習(xí)內(nèi)容了？”……這時(shí)，老師從兜里拿出一個(gè)土豆兒，高高舉起來(lái)，說(shuō)：“今 天咱們復(fù)習(xí)立體圖形的體積計(jì)算，看誰(shuí)能用學(xué)過(guò)的知識(shí)，計(jì)算出土豆兒的體積？”說(shuō)著，神秘地看了看大家。
頓時(shí)，教室里靜了下來(lái)。誰(shuí)都知道，我們雖然學(xué)過(guò)正方體、長(zhǎng)方體和圓柱體、圓錐體的體積計(jì)算，但是土 豆兒，方不方、圓不圓，凸凸凹凹，是個(gè)不規(guī)則的形體，那怎么計(jì)算它的體積呢？大家你看看我，我看看你， 一時(shí)，誰(shuí)也不知怎么辦？
正當(dāng)同學(xué)們困惑不解的時(shí)候，老師拿起土豆兒，“咚”的一聲，將它放入長(zhǎng)方體的鐵罐內(nèi)，然后微笑著， 用期待的目光看著同學(xué)們。
“老師，我想出辦法了！”小昆興沖沖地走上講臺(tái)，他先用尺子從里面量出長(zhǎng)方體鐵罐的長(zhǎng)（a）、寬（b ）和高（h[,1]）， 然后將土豆兒放入罐內(nèi)，并用細(xì)砂把鐵罐填滿。他怕砂子表面不平，還用尺子沿罐邊將砂 面刮平。
這時(shí)，有人插話：“要是知道砂子的體積，土豆兒的體積就等于鐵罐的容積減去砂子的體積�！�
小昆看了看插話的同學(xué)，繼續(xù)有條不紊地操作。他小心翼翼地將土豆兒從罐內(nèi)取出，唯恐帶出砂子，接著 再用小三角板將罐內(nèi)的砂面刮平，并測(cè)出砂面的高度（h[,2]）， 然后對(duì)大家說(shuō)：“罐內(nèi)砂面的高度由h[,1]降 到h[,2]，就是因?yàn)槿〕鐾炼箖旱木壒�，所以，土豆兒的體積可以這樣計(jì)算�！闭f(shuō)著，就在黑板上板書(shū)起來(lái)。
土豆兒體積＝長(zhǎng)方體鐵罐容積－鐵罐內(nèi)砂子體積
＝V[,1]－V[,2]＝abh[,1]－abh[,2]
“其實(shí)，小昆的計(jì)算方法可以改進(jìn)”。還是剛才插話的那位同學(xué)，指著小昆的板書(shū)說(shuō)：“abh[,1]－abh[, 2]，就是ab（h[,1]－h(huán)[,2]），也就是說(shuō)，土豆兒的體積只要用鐵罐的底面積乘以砂面的高度差就可以了。”
“砂子面的高度差就是從罐內(nèi)取出土豆兒后，砂面下降的高度，所以，計(jì)算土豆兒的體積，只要用長(zhǎng)方體 鐵罐的底面積乘以砂面下降的高度就可以了。你們看——”大為同學(xué)不僅進(jìn)一步改進(jìn)了計(jì)算方法，而且還在黑 板上畫(huà)出示意圖。
附圖{圖}
土豆兒體積＝長(zhǎng)方體鐵罐的底面積×砂面下降的高度
V＝abh[,3]
這時(shí)，教室里的氣氛熱烈起來(lái)了。
“要是鐵罐不漏水的話，用水代替砂子，照小昆的方法，也可以計(jì)算出土豆兒的體積�！�
“用小昆的方法，如果用正方體的容器，也可以計(jì)算土豆兒的體積。”（見(jiàn)圖）
附圖{圖}
土豆兒的體積＝正方體容器的底面積×砂（水）面下降的的高度
V＝a[2]h
“只要容器的容積大于土豆兒的體積，都可以用上面的方法。你們看，我用這個(gè)鐵盒也照樣可以�！倍⻊� 說(shuō)著，高高地舉起他帶來(lái)的口小底大的鐵皮盒。
這時(shí)，老師一邊在黑板上畫(huà)示意圖，一邊鼓勵(lì)二剛：“可以。請(qǐng)你具體講一講�！�
附圖{圖}
“雖然這個(gè)容器的底兒是長(zhǎng)方形，但是計(jì)算容積時(shí)，應(yīng)該用它的橫截面的面積，也就是梯形的面積乘以容 器的長(zhǎng)�！闭f(shuō)著，他干凈利索地操作起來(lái)——放入土豆兒，填滿砂子，刮平砂面，取出土豆兒，刮平盒內(nèi)砂面 ，測(cè)量容器的橫截面上底（a），下底（即砂面的寬度）（b），砂面下降的寬度（h），及容器的長(zhǎng)（f）。然 后，板書(shū)計(jì)算方法：
土豆兒體積＝橫截面面積×容器的長(zhǎng)度
V＝1／2（a＋b）hf
“測(cè)量橫截面的面積，也可以用中位線乘以高�！庇钟腥瞬逶挕�
“當(dāng)然可以！”二剛指著容器內(nèi)，取出土豆兒后，橫截面上空出部分所呈現(xiàn)的梯形，胸有成竹地說(shuō)，“只 要測(cè)出中位線（m）和高（h）就可以�！�
土豆兒體積＝砂面下降橫截面面積×容器的長(zhǎng)
V＝mhf
“剛才，同學(xué)們都利用計(jì)算直棱柱體積的方法，巧妙地解決了土豆兒體積的計(jì)算。大家想一想，還有別的 方法嗎？”老師指著同學(xué)們帶來(lái)的其它學(xué)具，啟發(fā)大家。
這次，小剛同學(xué)搶先發(fā)了言：“我利用圓柱形的有機(jī)玻璃桶，照樣可以計(jì)算土豆兒體積。”
“那你試試看。”老師說(shuō)。
小剛自信地走上講臺(tái)，開(kāi)始操作：他把圓柱形的有機(jī)玻璃桶舉到圓柱形的玻璃缸上方，用水將桶注滿，然 后把土豆兒輕輕地、慢慢地放進(jìn)桶里。這時(shí)，桶內(nèi)的水沿著桶的邊沿流入缸內(nèi)，直到水滴停止。接著他從里面 測(cè)量了玻璃缸的底面直徑和缸內(nèi)的水面高度，然后，在黑板上板書(shū)：
土豆兒體積＝排出的水的體積
＝玻璃缸的底面積×流入缸內(nèi)的水面高度
V＝sh
＝πr[2]h
＝π（d／2）[2]h
“這樣測(cè)量不準(zhǔn)確！”
“可不，桶的側(cè)面還粘有不少水呢！”不少同學(xué)提出了意見(jiàn)。
老師走上講臺(tái)，親切安慰了小剛幾句，然后對(duì)大家說(shuō)：“誰(shuí)能做得準(zhǔn)確一些呢？”
話音剛落，小昆再次走上講臺(tái)。他先把土豆兒放進(jìn)桶內(nèi)，然后小心地將桶注滿水，接著用兩把小尺子輕輕 地插入桶內(nèi)，去夾土豆兒。雖然動(dòng)作很小心，但是桶內(nèi)的水還是溢出一點(diǎn)兒，不過(guò)量很少，而且他不再測(cè)量流 出的水的體積，而是舉起取出土豆兒后的桶，對(duì)大家說(shuō)：“剛才滿桶的水，現(xiàn)在桶內(nèi)水面下降了。這下降部分 的體積，就是土豆兒的體積�！毙±ヒ�(jiàn)同學(xué)們都在認(rèn)真聽(tīng)講，接著說(shuō)：“所以，只要從里面量出桶底的直徑和 取出土豆兒后水面下降的高度，就可以算出土豆兒的體積了。”
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