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初學(xué)因式分解的“四個(gè)注意”
初學(xué)因式分解的“四個(gè)注意” 因式分解初見于九年義務(wù)教育三年制初中教材《代數(shù)》第二冊(cè)，在初二上學(xué)期講授，但它的內(nèi)容卻滲透于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教材之中。學(xué)習(xí)它，既可以復(fù)習(xí)初一的整式四則運(yùn)算，又為本冊(cè)下一章分式打好基礎(chǔ)；學(xué)好它，既可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察、注意、運(yùn)算能力，又可以提高學(xué)生綜合分析和解決問(wèn)題的能力。其中四個(gè)注意，則必須引起師生的高度重視。 因式分解中的四個(gè)注意散見于教材第５頁(yè)和第１５頁(yè)，可用四句話概括如下：首項(xiàng)有負(fù)常提負(fù)，各項(xiàng)有“公”先提“公”，某項(xiàng)提出莫漏１，括號(hào)里面分到“底”。現(xiàn)舉數(shù)例，說(shuō)明如下，供參考。 例１ 把－ａ^２－ｂ^２＋２ａｂ＋４分解因式。 解：－ａ^２－ｂ^２＋２ａｂ＋４＝－（ａ^２－２ａｂ＋ｂ^２－４）＝－（ａ－ｂ＋２）（ａ－ｂ－２） 這里的“負(fù)”，指“負(fù)號(hào)”。如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的，一般要提出負(fù)號(hào)，使括號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)系數(shù)是正的。防止學(xué)生出現(xiàn)諸如－９ｘ^２＋４ｙ^２＝（－３ｘ）^２－（２ｙ）^２＝（－３ｘ＋２ｙ）（－３ｘ－２ｙ）＝（３ｘ－２ｙ）（３ｘ＋２ｙ）的錯(cuò)誤。但也不能見負(fù)號(hào)就先“提”，要對(duì)全題進(jìn)行分析， 如例２ △ＡＢＣ的三邊ａ、ｂ、ｃ有如下關(guān)系式：－ｃ^２＋ａ^２＋２ａｂ－２ｂｃ＝０，求證這個(gè)三角形是等腰三角形。 分析：此題實(shí)質(zhì)上是對(duì)關(guān)系式的等號(hào)左邊的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。 證明：∵－ｃ^２＋ａ^２＋２ａｂ－２ｂｃ＝０，∴（ａ＋ｃ）（ａ－ｃ）＋２ｂ（ａ－ｃ）＝０，∴（ａ－ｃ）（ａ＋２ｂ＋ｃ）＝０． 又∵ａ、ｂ、ｃ是△ＡＢＣ的三條邊，∴ａ＋２ｂ＋ｃ＞０，∴ａ－ｃ＝０， 即ａ＝ｃ，△ＡＢＣ為等腰三角形。 例３把－１２ｘ^２ｎｙ^ｎ＋１８ｘ^ｎ＋２ｙ^ｎ＋１－６ｘ^ｎｙ^ｎ－１分解因式。解：－１２ｘ^２ｎｙ^ｎ＋１８ｘ^ｎ＋２ｙ^ｎ＋１－６ｘ^ｎｙ^ｎ－１＝－６ｘ^ｎｙ^ｎ－１（２ｘ^ｎｙ－３ｘ^２ｙ^２＋１） 這里的“公”指“公因式”。如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么先提取這個(gè)公因式，再進(jìn)一步分解因式；這里的“１”，是指多項(xiàng)式的某個(gè)整項(xiàng)是公因式時(shí)，先提出這個(gè)公因式后，括號(hào)內(nèi)切勿漏掉１。防止學(xué)生出現(xiàn)諸如６ｐ（ｘ－１）３－８ｐ２（ｘ－１）２＋２ｐ（１－ｘ）２＝２ｐ（ｘ－１）２［３（ｘ－１）－４ｐ］＝２ｐ（ｘ－１）２（３ｘ－４ｐ－３）的錯(cuò)誤。 例４ 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)把ｘ^４－５ｘ^２－６分解因式。 解：ｘ^４－５ｘ^２－６＝（ｘ^２＋１）（ｘ^２－６）＝（ｘ^２＋１）（ｘ＋６）（ｘ－６） 這里的“底”，指分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止。即分解到底，不能半途而廢的意思。其中包含提公因式要一次性提“干凈”，不留“尾巴”，并使每一個(gè)括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式都不能再分解。防止學(xué)生出現(xiàn)諸如４ｘ^４ｙ^２－５ｘ２ｙ^２－９ｙ^２＝ｙ^２（４ｘ^４－５ｘ^２－９）＝ｙ^２（ｘ^２＋１）（４ｘ^２－９）的錯(cuò)誤。 由此看來(lái)，因式分解中的四個(gè)注意貫穿于因式分解的四種基本方法之中，與因式分解的四個(gè)步驟或說(shuō)一般思考順序的四句話：“先看有無(wú)公因式，再看能否套公式，十字相乘試一試，分組分解要合適”是一脈相承的。
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