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初學(xué)因式分解的“四個注意”
初學(xué)因式分解的“四個注意” 因式分解初見于九年義務(wù)教育三年制初中教材《代數(shù)》第二冊，在初二上學(xué)期講授，但它的內(nèi)容卻滲透于整個中學(xué)數(shù)學(xué)教材之中。學(xué)習(xí)它，既可以復(fù)習(xí)初一的整式四則運算，又為本冊下一章分式打好基礎(chǔ)；學(xué)好它，既可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察、注意、運算能力，又可以提高學(xué)生綜合分析和解決問題的能力。其中四個注意，則必須引起師生的高度重視。 因式分解中的四個注意散見于教材第５頁和第１５頁，可用四句話概括如下：首項有負常提負，各項有“公”先提“公”，某項提出莫漏１，括號里面分到“底”。現(xiàn)舉數(shù)例，說明如下，供參考。 例１ 把－ａ^２－ｂ^２＋２ａｂ＋４分解因式。 解：－ａ^２－ｂ^２＋２ａｂ＋４＝－（ａ^２－２ａｂ＋ｂ^２－４）＝－（ａ－ｂ＋２）（ａ－ｂ－２） 這里的“負”，指“負號”。如果多項式的第一項是負的，一般要提出負號，使括號內(nèi)第一項系數(shù)是正的。防止學(xué)生出現(xiàn)諸如－９ｘ^２＋４ｙ^２＝（－３ｘ）^２－（２ｙ）^２＝（－３ｘ＋２ｙ）（－３ｘ－２ｙ）＝（３ｘ－２ｙ）（３ｘ＋２ｙ）的錯誤。但也不能見負號就先“提”，要對全題進行分析， 如例２ △ＡＢＣ的三邊ａ、ｂ、ｃ有如下關(guān)系式：－ｃ^２＋ａ^２＋２ａｂ－２ｂｃ＝０，求證這個三角形是等腰三角形。 分析：此題實質(zhì)上是對關(guān)系式的等號左邊的多項式進行因式分解。 證明：∵－ｃ^２＋ａ^２＋２ａｂ－２ｂｃ＝０，∴（ａ＋ｃ）（ａ－ｃ）＋２ｂ（ａ－ｃ）＝０，∴（ａ－ｃ）（ａ＋２ｂ＋ｃ）＝０． 又∵ａ、ｂ、ｃ是△ＡＢＣ的三條邊，∴ａ＋２ｂ＋ｃ＞０，∴ａ－ｃ＝０， 即ａ＝ｃ，△ＡＢＣ為等腰三角形。 例３把－１２ｘ^２ｎｙ^ｎ＋１８ｘ^ｎ＋２ｙ^ｎ＋１－６ｘ^ｎｙ^ｎ－１分解因式。解：－１２ｘ^２ｎｙ^ｎ＋１８ｘ^ｎ＋２ｙ^ｎ＋１－６ｘ^ｎｙ^ｎ－１＝－６ｘ^ｎｙ^ｎ－１（２ｘ^ｎｙ－３ｘ^２ｙ^２＋１） 這里的“公”指“公因式”。如果多項式的各項含有公因式，那么先提取這個公因式，再進一步分解因式；這里的“１”，是指多項式的某個整項是公因式時，先提出這個公因式后，括號內(nèi)切勿漏掉１。防止學(xué)生出現(xiàn)諸如６ｐ（ｘ－１）３－８ｐ２（ｘ－１）２＋２ｐ（１－ｘ）２＝２ｐ（ｘ－１）２［３（ｘ－１）－４ｐ］＝２ｐ（ｘ－１）２（３ｘ－４ｐ－３）的錯誤。 例４ 在實數(shù)范圍內(nèi)把ｘ^４－５ｘ^２－６分解因式。 解：ｘ^４－５ｘ^２－６＝（ｘ^２＋１）（ｘ^２－６）＝（ｘ^２＋１）（ｘ＋６）（ｘ－６） 這里的“底”，指分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。即分解到底，不能半途而廢的意思。其中包含提公因式要一次性提“干凈”，不留“尾巴”，并使每一個括號內(nèi)的多項式都不能再分解。防止學(xué)生出現(xiàn)諸如４ｘ^４ｙ^２－５ｘ２ｙ^２－９ｙ^２＝ｙ^２（４ｘ^４－５ｘ^２－９）＝ｙ^２（ｘ^２＋１）（４ｘ^２－９）的錯誤。 由此看來，因式分解中的四個注意貫穿于因式分解的四種基本方法之中，與因式分解的四個步驟或說一般思考順序的四句話：“先看有無公因式，再看能否套公式，十字相乘試一試，分組分解要合適”是一脈相承的。
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