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函數(shù)（一）教案形成與實(shí)驗(yàn)的報(bào)告
函數(shù)（一）教案形成與實(shí)驗(yàn)的報(bào)告 《函數(shù)（一）》是人教版義務(wù)教育教材初級(jí)中學(xué)代數(shù)第三冊(cè)第十三章“函數(shù)及其圖像”第二節(jié)的數(shù)學(xué)內(nèi)容（見(jiàn)教材Ｐ９１—Ｐ９２頁(yè)），安排二課時(shí)教授。 下面就我們對(duì)這一重要教學(xué)內(nèi)容的教案形成報(bào)告如下（具體教案略）。 在課堂教學(xué)中，我們主張有意義學(xué)習(xí)，反對(duì)機(jī)械學(xué)習(xí)。有意義學(xué)習(xí)，就是通過(guò)文字符號(hào)或其它符號(hào)使學(xué)生在頭腦中獲得相應(yīng)的認(rèn)知內(nèi)容的學(xué)習(xí)。其學(xué)習(xí)過(guò)程的實(shí)質(zhì)是符號(hào)所代表的新知識(shí)與學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的適當(dāng)知識(shí)建立非人為的（非任意的）和實(shí)質(zhì)性的（非字面的）聯(lián)系。 根據(jù)學(xué)習(xí)任務(wù)的復(fù)雜程度，有意義學(xué)習(xí)分為三種類(lèi)型：代表學(xué)習(xí)、概念學(xué)習(xí)和命題學(xué)習(xí)。這是一堂典型的概念學(xué)習(xí)課，它的實(shí)質(zhì)是讓學(xué)生掌握事物的共同的關(guān)鍵特征（關(guān)鍵屬性）。獲得概念的形式有兩種：一種是讓學(xué)生從大量事物的不同例證中獨(dú)立發(fā)現(xiàn)，稱(chēng)為概念形成，另一種是教師用定義的方式直接向?qū)W生呈現(xiàn)，然后由學(xué)生利用認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的有關(guān)概念理解新概念，稱(chēng)為概念同化。 義務(wù)教育新教材對(duì)認(rèn)知發(fā)展尚未成熟的初中學(xué)生，在理論上降低了邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性要求。根據(jù)從具體到抽象的認(rèn)知規(guī)律，教材比較多的運(yùn)用了形象思維和直覺(jué)思維，減少了學(xué)生的學(xué)習(xí)困難。形象思維是借助對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的具體形象和表象的聯(lián)想來(lái)進(jìn)行的思維，可以經(jīng)常聯(lián)系生活實(shí)際、圖表和模型表現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容，通過(guò)聯(lián)想、類(lèi)比、歸納而抽象出數(shù)學(xué)概念，也可以使數(shù)學(xué)概念具體化、形象化。直覺(jué)思維是具有意識(shí)的人腦對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的結(jié)構(gòu)及規(guī)律性關(guān)系的敏銳想象和迅速判斷。它的特點(diǎn)是思維過(guò)程無(wú)明確的意識(shí)，也沒(méi)有清晰的推理過(guò)程，思維過(guò)程在一剎那間完成（即“頓悟”），主要形式是想象和猜測(cè)�？梢赃@樣說(shuō)，邏輯是證明的工具，而直覺(jué)是發(fā)現(xiàn)的工具。因此根據(jù)本節(jié)課教材的組織程序和教學(xué)大綱要求，學(xué)生學(xué)習(xí)進(jìn)行的方式可采用發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的形式（蘇聯(lián)奧蘇伯爾觀點(diǎn)，美國(guó)布魯納倡導(dǎo)），先用概念形成的程序引入函數(shù)概念，然后同化函數(shù)概念，達(dá)到獲得函數(shù)概念的目的。經(jīng)過(guò)研究，我們?nèi)〉昧巳缦碌墓沧R(shí)： 一、依據(jù)教學(xué)大綱和節(jié)前框，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)應(yīng)該是要求學(xué)生能分清實(shí)例中出現(xiàn)的常量與變量、自變量與函數(shù)，使學(xué)生了解函數(shù)的意義及三種表示法。 二、緊扣教材，充分運(yùn)用教材獲得函數(shù)概念。 １．借助教材編寫(xiě)者精心設(shè)計(jì)的章頭圖（第８２頁(yè)）引入教學(xué)，體現(xiàn)函數(shù)這個(gè)重要的數(shù)學(xué)概念源于實(shí)踐、寓于實(shí)踐的哲學(xué)觀點(diǎn)。 上課伊始，讓學(xué)生觀察章頭圖。這幅圖分上、中、下三部分。通過(guò)對(duì)上、下四幅畫(huà)的觀察得到某日白天的氣溫高、風(fēng)力��；深夜的氣溫低、風(fēng)力大，具體生動(dòng)地說(shuō)明了時(shí)間和氣溫是兩個(gè)變量，時(shí)間和風(fēng)力也是兩個(gè)變量。接著利用學(xué)生前節(jié)課（平面直角坐標(biāo)系內(nèi)容）剛剛獲得的認(rèn)知結(jié)構(gòu)觀察中間部分（氣溫圖），發(fā)現(xiàn)一天二十四小時(shí)內(nèi)，當(dāng)時(shí)間每取一個(gè)值時(shí)，氣溫都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，向?qū)W生展示了：在一個(gè)問(wèn)題的研究過(guò)程中，往往存在兩個(gè)變量的運(yùn)動(dòng)變化狀況，并且它們滿(mǎn)足某種函數(shù)關(guān)系這樣一個(gè)數(shù)學(xué)現(xiàn)象（實(shí)例）。 ２．重點(diǎn)講解第９１頁(yè)的例子：一輛汽車(chē)以３０千米／小時(shí)的速度行駛，行駛的路程Ｓ（千米）與行駛時(shí)間ｔ（時(shí)）有怎樣的關(guān)系呢？利用學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)（勻速運(yùn)動(dòng)規(guī)律：Ｓ＝Ｖｔ），開(kāi)展學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)。 通過(guò)討論，采用列表的形式，發(fā)現(xiàn)在這個(gè)問(wèn)題的研究過(guò)程中，速度Ｖ是常量，路程Ｓ和時(shí)間ｔ是兩個(gè)變量，并且當(dāng)變量ｔ每取一個(gè)值時(shí)，就可以相應(yīng)地得出變量Ｓ有唯一的一個(gè)值。通過(guò)上述兩例的知覺(jué)水平的分析，辨別不同的刺激模式，舍去事物的特定物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的形態(tài)，提煉出兩個(gè)研究對(duì)象中共同的關(guān)鍵屬性，抽象為數(shù)量及關(guān)系的研究，就得出了函數(shù)的定義，深入淺出地揭示了用語(yǔ)言文字符號(hào)表示函數(shù)（這一步屬于有意義學(xué)習(xí)的代表學(xué)習(xí)的范疇）這個(gè)數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程，獲得了反映現(xiàn)實(shí)或者說(shuō)代表現(xiàn)實(shí)的一個(gè)抽象概念———函數(shù)。 三、同化概念，使函數(shù)的意義有效地固定在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。 在初步獲得函數(shù)要領(lǐng)的意義后，可通過(guò)第９２頁(yè)的圓的面積Ｓ（ｃｍ２）與半徑Ｒ（ｃｍ）間的關(guān)系：Ｓ＝πＲ２來(lái)理解常量與變量、自變量與函數(shù)這些新概念，并進(jìn)一步綜合上面引入函數(shù)定義的兩例，將函數(shù)概念與學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)觀念進(jìn)一步分化和融合貫通，指出兩個(gè)變量構(gòu)成的函數(shù)關(guān)系有的可以用數(shù)學(xué)式子（等式）表示，有的可以用列表或圖表示，有的三種表示方法兼而有之，達(dá)到了同化概念、強(qiáng)化函數(shù)關(guān)鍵特征的目的，為以后學(xué)習(xí)具體函數(shù)及其圖像奠定了基矗 四、把握好概念的掌握的教學(xué)環(huán)節(jié)。 所謂概念的掌握就是指獲得了按一類(lèi)事物的共同的關(guān)鍵屬性進(jìn)行反應(yīng)的能力。教師在設(shè)計(jì)測(cè)驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)學(xué)生是否真正獲得概念時(shí)，有兩點(diǎn)是值得注意的：（１）要區(qū)分學(xué)生是知識(shí)的理解還是知識(shí)的機(jī)械記憶；（２）要區(qū)分學(xué)生是根據(jù)關(guān)鍵特征掌握概念，還是根據(jù)無(wú)關(guān)特征回答有關(guān)概念問(wèn)題。這是一個(gè)十分重要的教學(xué)環(huán)節(jié)，要形成學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的高潮。 １．用提問(wèn)和板演的形式要求學(xué)生完成第９２頁(yè)練習(xí)的兩題。學(xué)生根據(jù)常量與變量、自變量與函數(shù)的定義，直接從知覺(jué)上覺(jué)察它們的意義，迅速回答問(wèn)題。 ２．請(qǐng)學(xué)生舉出實(shí)例，說(shuō)明在一個(gè)問(wèn)題的研究過(guò)程中存在兩個(gè)變量，并且構(gòu)成函數(shù)關(guān)系（即由學(xué)生舉出肯定例證）。教師要抓住函數(shù)的關(guān)鍵特征，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展思維上活動(dòng)，在學(xué)習(xí)和生活中推衍（尋找）出數(shù)學(xué)現(xiàn)象。教師在教學(xué)過(guò)程中，要特別尊重學(xué)生的發(fā)言和討論，采用擴(kuò)大有關(guān)特征（定義的特征）的方法促進(jìn)教學(xué)，辨識(shí)肯定例證和否定例證，使函數(shù)真正成為科學(xué)概念。 張仲隱老師寫(xiě)成了教案，課前學(xué)生進(jìn)行了預(yù)習(xí)。該授課采用了以激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)為特征的、以學(xué)生為中心的講練結(jié)合的啟發(fā)式教學(xué)方法。在教學(xué)過(guò)程中呈現(xiàn)的概念的形成、掌握、深化的教學(xué)環(huán)節(jié)，環(huán)環(huán)相扣，自然流暢，使教材本身具有的邏輯意義與學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)了較好的結(jié)合，清晰、穩(wěn)定而明確的函數(shù)意義得到了顯現(xiàn)，為學(xué)生了解和基本掌握，完成了教學(xué)任務(wù)。在教學(xué)過(guò)程中，值得提出的兩點(diǎn)是：（１）在定義函數(shù)概念之后，張老師讓學(xué)生第二次觀察章頭圖解決問(wèn)題時(shí)，學(xué)生從函數(shù)思想上的高度回答了老師提某日一天二十四小時(shí)內(nèi)的時(shí)間與溫度之間的各種關(guān)系問(wèn)題（何時(shí)溫度最高、最低？什么一段時(shí)間溫度持續(xù)上升、持續(xù)下降？）。充分發(fā)揮了教材的功能，加深了對(duì)函數(shù)意義的了解。巧合的是，教師提出的問(wèn)題就是安徽省去年中考數(shù)學(xué)試題第六題第２小題的原型（備課時(shí)未考慮到）。（２）學(xué)生在舉滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)變量的實(shí)例時(shí)，發(fā)言和爭(zhēng)論的氣氛熱烈。他們提出：“在單位時(shí)間工作量一定時(shí)，總工作量與工作時(shí)間成函數(shù)關(guān)系”，“發(fā)電報(bào)錢(qián)款數(shù)與字?jǐn)?shù)成函數(shù)關(guān)系”，“人的身高與年齡成函數(shù)關(guān)系”，“銳角α與它的正弦值成函數(shù)關(guān)系”，“二元一次方程的二個(gè)未知數(shù)Ｘ、Ｙ成函數(shù)關(guān)系”。從學(xué)生口述的實(shí)例中，說(shuō)明學(xué)生在短短的四十五分鐘內(nèi)，了解了函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)屬性（在哲學(xué)上稱(chēng)為本質(zhì)屬性），達(dá)到了提高課堂教學(xué)效率的目的。
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