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數(shù)學(xué)課堂如何落實創(chuàng)新教育
數(shù)學(xué)課堂如何落實創(chuàng)新教育 在知識經(jīng)濟(jì)時代,知識的加速發(fā)展是不可否認(rèn)的事實,而對一個高節(jié)奏,高科技,高風(fēng)險,高競爭,高壓力的21世紀(jì),教育只有進(jìn)行改革和創(chuàng)新才能適應(yīng)這一形勢。而創(chuàng)新能力不僅是一個民族,一個社會富有生機(jī)與活力的前提條件,也是一個民族,一個社會文明發(fā)展水準(zhǔn)的標(biāo)志,是一個國家綜合國力的重要組成部分。江澤民總書記對于創(chuàng)新做了最精辟的論述:“創(chuàng)新是一個民族進(jìn)步的靈魂,是國家興旺發(fā)展的不竭動力�！睘榱诉m應(yīng)這一形勢,教育在面向受教育者傳授一定的基礎(chǔ)理論和基礎(chǔ)知識的同時,還要注意從創(chuàng)新角度出發(fā),培養(yǎng)學(xué)生的智能,使他們能夠有效地駕馭并靈活運(yùn)用知識,即實行“智能教育”,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力。而數(shù)學(xué)科要結(jié)合本學(xué)科的特點(diǎn),著重利用數(shù)學(xué)知識的發(fā)生,發(fā)展和應(yīng)用過程中,讓學(xué)生學(xué)會運(yùn)動變化,分析與綜合,歸納與演繹,比較與類比,具體與抽象,一般化與特殊化,數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想與方法,把學(xué)生的思維能力提高到一個新的高度,讓學(xué)生掌握科學(xué)的思維方法,學(xué)會運(yùn)用基本的思維技巧,努力去獲取成功。下面就如何實施談一下自己的做法:
(一) 利用數(shù)學(xué)的多角度,培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維
由于發(fā)散思維具有多端性,變通性,獨(dú)特性的特點(diǎn),即思考問題時注重多途徑,多方案;解決問題時注重舉一反三,觸類旁通。這與數(shù)學(xué)知識的思維特征極為相似,所以要充分利用數(shù)學(xué)教學(xué),正確培養(yǎng)和拓展學(xué)生的發(fā)散思維能力,對造就創(chuàng)新型人才至關(guān)重要。
[例]:a、b、c ,求證: ≥
這是一道不等式證明題,學(xué)生從a2+b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立)出發(fā),行不通�？梢詮囊韵聨追矫嬉龑�(dǎo)學(xué)生:
① ≥0 ≥2ab ≥ ≥ (a+b);②因為 是復(fù)數(shù)a+b (a、b )的模,
則 ≥ =
從而得證。
③也可以從 是兩直角邊分別為a、b的
直角三角形的斜邊出發(fā),看成是右邊三個三
角形三條斜邊之和大于或等于 的長度。
可見,利用數(shù)學(xué)題目從一個已知信息出發(fā),通過分解組合,引伸推導(dǎo),想象,類比,從不同方向進(jìn)行思考,得出多種思路,想出多種可能,它的思維目標(biāo)是多側(cè)面的,多角度的,多方位的。
(二) 利用數(shù)學(xué)的目標(biāo)性,培養(yǎng)學(xué)生的聚合思維。
聚合思維又稱求同思維,是從不同來源、不同材料,不同方向探求一個正確答案的思維過程和方法。思維方向集中于同一個相同的目標(biāo)去思考。
[例]:求證恒等式(sinφ+tgφ)(cosφ+ctgφ)=(1+sinφ)﹙1+cosΦ﹚。
由于是恒等式證明,主要是證明兩邊相等。學(xué)生基本上是采用從左到右;左右相減;兩邊去括號,證相等。但由于考慮到右邊也是兩個括號,左邊也是兩個括號,可以采用從左邊兩個括號中分別提取tgφ,ctgφ而得到證明。目標(biāo)性很明確。
[例]:求證△ABC的三內(nèi)角A、B、C滿足A+B+C=180゜.
它主要是利用平行線性質(zhì),來構(gòu)造一個平角。由于聚合過程采用不同的方向,輔助線有以下幾種不同的添加法。
當(dāng)然,作為聚合思維,它能把散在千里之外的輻射性思維牽引回來,向著某一思維目標(biāo)發(fā)起思維攻勢,這種攻勢是多側(cè)面的,多方位的,多層次的,它在時間上既是多路同時匯集,又是連續(xù)不斷的;在空間上是立體型的,火力網(wǎng)狀式的,通過去粗存精,去偽存真,而使思考慢慢縮小,逐步清晰,本質(zhì)漸漸顯露,最后探求出事物的原因或結(jié)果。
(三) 利用數(shù)學(xué)中的演繹關(guān)系,培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理法,回溯思維法,逆向思維法。
演繹推理法是從普遍性(或稱一般性)的前提推出特殊性(或稱個別性)的結(jié)論的思維方法。這種思維方法的前提和結(jié)論之間是必然性的聯(lián)系,是一種必然無誤的斷定。數(shù)學(xué)課本的體系都是采用演繹推理的。
回溯思維法又稱溯源推理法,有廣義和狹義兩種理解。廣義是根據(jù)事物發(fā)展過程所造成的結(jié)果,推斷形成結(jié)果的一系列原因的整個邏輯思維過程;而狹義的則是指從事物的結(jié)果推斷其原因的一種思維方法。簡單地說,回溯思維法就是從事物的“果”回過來推測其“因”。
數(shù)學(xué)教學(xué)中,這兩種思維是經(jīng)常一起交叉使用的,比如平幾、立幾、解幾中的證明題,其證明、分析過程一般都使用以上兩種方法,充要條件的教學(xué)過程更是這兩種方法集中使用的體現(xiàn)。
逆向思維法是為了實現(xiàn)創(chuàng)造過程中的某項目標(biāo),以背逆常規(guī)現(xiàn)象或解決問題的方法為前提,通過逆向思考來實現(xiàn)發(fā)明和發(fā)現(xiàn)的方法。
對于數(shù)學(xué)中的選擇題,有很多題目如能采用逆向思維,會使學(xué)生體會到科學(xué)思維的威力。
[例]:設(shè)復(fù)數(shù)z滿足關(guān)系式z+|z|=2+i,則z等于( )
(A) (B) (C) (D)
2、定義在(-∞,+∞)的任意函數(shù)f(x)都可以表示成一個奇函數(shù)g(x)和一個偶函數(shù)h(x)的和,如果f(x)= lg(10x+1),x∈(-∞,+∞),那么( )
(A) g(x)=x,h(x)=lg
(B) g(x)= ,h(x)= lg
(C) g(x)= ,h(x)=
(D) g(x)= ,h(x)= lg
有數(shù)不盡的選擇題都可以象上面兩道題不是直接從已知條件出發(fā),而是從選擇支出發(fā)去探求滿足題意的捷徑。
當(dāng)然,在解析幾何題中,也出現(xiàn)不少類似題。
如設(shè)雙曲線 =1的一個頂點(diǎn)A,P是雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn),從A點(diǎn)引兩漸近線的平行線交直線OP(O為原點(diǎn))分別于Q,R兩點(diǎn),求證:|OP|2=|OQ|·|OR|。
[從分析目標(biāo)可知,先證:xp2=xQ·xR]。
(四)利用數(shù)學(xué)的指向性,培養(yǎng)學(xué)生的目標(biāo)思維法。
目標(biāo)思維是這樣一種方法,首先確立要達(dá)到的目標(biāo),然后堅定不移地一步一步地去實現(xiàn)目標(biāo),不達(dá)目的決不罷休。做各項工作都離不開一定的目標(biāo),只是人們干工作,做事情時,有的目標(biāo)明確,有的不明確,有的很模糊,實踐證明:目標(biāo)的明確度與工作的有效性往往是成正比例的。
在立幾《多面體與旋轉(zhuǎn)體》中,有關(guān)多面體與旋轉(zhuǎn)體中的側(cè)面積,體積等的證明過程都是采用目標(biāo)思維法,解析幾何中曲線的標(biāo)準(zhǔn)形式等也都采用目標(biāo)思維法。由于數(shù)學(xué)問題是建立在要“解決”的情景之下的,可以說數(shù)學(xué)的發(fā)展都是在目標(biāo)思維法的推動下而實現(xiàn)的。
(五)利用數(shù)學(xué)條件的可容性,培養(yǎng)學(xué)生的組合思維法與置換思維法。
這里的組合主要有以下兩個含義:(1)指兩個或兩個以上各自獨(dú)立元素的結(jié)合。(2)指數(shù)學(xué)中把m個不同元素中取出n個組成一組稱為一個“組合”。組合思維法就是用這兩種方法將不同元素組合起來的一種思維方法。組合思維法有發(fā)散性(求異性),選擇性、綜合性等三個特點(diǎn)。
數(shù)學(xué)中隨處可見這種組合思維。例
1:已知f(x)是(-1,1)上的偶函數(shù),且在(0,1)上是增函數(shù),求滿足f(a-2)-f(4-a2)<0的實數(shù)a的取值范圍。
[定義域,偶函數(shù),解絕對值不等式,函數(shù)單調(diào)性的組合]
2:設(shè)方程log3x+x-3=0的根為x1,方程3x+x-3=0的根為x2,求x1+x2的值。
[y= log3x,y= 3x,y=3-x的圖象,互為反函數(shù)間的關(guān)系,對稱性的組合]。
3:如圖,圓柱的軸截面ABCD是正方形,點(diǎn)E在底面圓周上,AF⊥DE,F是垂足。
(1)求證:AF⊥DB;
(2)如果圓柱與三棱錐D-ABE的體積比
等于3 ,求直線DE與平面ABCD所成
的角。
[圓柱與三棱錐組合在一起的題型]。
4:橢圓 =1( a>b>0)的焦距為6,兩焦點(diǎn)把長軸三等分,求橢圓方程。
[長軸,焦距,a、b、c的組合]
當(dāng)然,立幾中接切,組合體都是組合思維的例證。解幾中對曲線的方程基本上是a、b、c、e、p,準(zhǔn)線等幾個元素中任取兩個的組合。
當(dāng)然,組合思維法重在“合”,因而要對組合對象進(jìn)行深入分析,把握它們個性特點(diǎn),再從這些特點(diǎn)中概括出規(guī)律,綜合形成設(shè)計方案。
置換思維法是將幾個不同元素從一種排列變成另一種排列而變成新的組合思維的方法�；蛘呤怯脛e的元素替換某個元素,使之變成新的組合的思維方法。
數(shù)學(xué)中置換思維方法的例子也是隨處可見。組合思維中的元素通常也可以用置換思維法去理解。又如,下面題組:
證明:(1)ctg2α(tg2α-sin2α)=sin2α
(2)
(3)sin4α-cos4α= sin2α-cos2α
上面各題中正弦換余弦,正切換余切;余弦換正弦,余切換正切,命題一樣成立。
[例]把4本不同的書全部分給3個學(xué)生,每人至少一本,分法種數(shù)為多少?
可把書,學(xué)生置換成信、郵筒;司機(jī)、汽車;房子、住戶;……
置換思維法與組合思維法可以說是孿生兄弟。組合思維法是用組合的方法去思考,而置換思維法是用排列的方法去思考。
學(xué)生學(xué)會了這些方法,可以對題目進(jìn)行改造,由于沒有固定的置換思考角度和方向,要求思維者的思維有較大的獨(dú)立性、靈活性,從而不墨守成規(guī)。這兩種方法也是創(chuàng)新能力的必需要求。
總之,當(dāng)人類的步伐邁入二十一世紀(jì)時,我們的教育更應(yīng)注重于以人為本,把人的大腦潛能充分調(diào)動起來,提高人類正確運(yùn)用科學(xué)思維,提高解決問題的能力,努力關(guān)注人的生命質(zhì)量的提升,關(guān)注學(xué)生獲取終身學(xué)習(xí)的能力,關(guān)注創(chuàng)新性思維的必需。
參考文獻(xiàn):
(1)《思維技巧趣談》 氣象出版社 1989年12月
(2)《創(chuàng)新論》 中國盲文出版社 1999年 9月
(3)肖川 “什么是良好的教育”
(4)《奇妙的類比》 中國文史出版社 1990年10月
(5)《孫維剛導(dǎo)學(xué)高中數(shù)學(xué)》 教育科學(xué)出版社 1999年5月
(5)《孫維剛導(dǎo)學(xué)初中數(shù)學(xué)》 教育科學(xué)出版社 1999年5月
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