|
反比例函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用
反比例函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用 立足基礎(chǔ) 舉一反三 ——談反比例函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用 江蘇省泰州市九龍實(shí)驗(yàn)學(xué)校 陳建（225300） 一、反比例函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí) 1．一般地，形如y=(k為常數(shù),k≠0)的函數(shù)稱為反比例函數(shù),其中x是自變量,y是函數(shù),k是比例系數(shù). 2.函數(shù)的解析式的特征:①等號(hào)左邊是函數(shù)y,等號(hào)右邊是一個(gè)分式,分子是常數(shù)k,分母中含有自變量x,且x的指數(shù)是1.②自變量x的取值范圍是x≠0的一切實(shí)數(shù).③比例系數(shù)“k≠0”是反比例函數(shù)定義的一個(gè)重要組成部分.④函數(shù)y的取值范圍也是一切非0的實(shí)數(shù). 3.反比例函數(shù)的幾種等價(jià)形式：y=;y=kx-1;xy=k.(k≠0) 4.用待定系數(shù)法，求反比例函數(shù)的解析式：反比例函數(shù) （且k為常數(shù)）中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需一對(duì)對(duì)應(yīng)值就可求出k的值，從而確定其解析式. 5.反比例函數(shù)y=( k為常數(shù),k≠0)圖象是雙曲線.(既是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱圖形) 6.反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)：當(dāng)k>0時(shí),雙曲線位于第一,三象限,在每個(gè)象限內(nèi),曲線從左向右下降,因而y隨x的增大而減小;當(dāng)k<0時(shí),雙曲線位于第二,四象限,在每個(gè)象限內(nèi),曲線從左向右上升,因而y隨x的增大而增大.雙曲線與x軸,y軸都沒(méi)有交點(diǎn),而是越來(lái)越接近x軸,y軸. 7.比例系數(shù)k的幾何意義:反比例函數(shù)中比例系數(shù)k的幾何意義,如果過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)引x軸,y軸垂線,與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為|k|. 二、反比例函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用 例1． 已知 是反比例函數(shù) （1） 求它的解析式. （2） 求自變量 的取值范圍，在每個(gè)象限內(nèi)， 隨 的增大而怎樣變化？ （3） 它的圖象位于哪個(gè)象限？ 分析： （k≠0）叫反比例函數(shù)，也可以寫成 ，因此，它的特點(diǎn)是（1）k≠0，（2）x的指數(shù)為-1. 解：（1）由題意得 ， ，解析式為 （2）自變量 的取值范圍是 . （3）由于 ，它的圖象位于二、四象限；在每個(gè)象限內(nèi)， 隨 的增大而增大. O A
O O B
O O C
O O D
O 例2、在同一坐標(biāo)系中，函數(shù) 和 的圖像大致是 （ ）
分析：本題是考查含有字母系數(shù)的幾個(gè)函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象，分 和 兩種情況進(jìn)行討論，選A. 例3、如右圖，在 的圖象上有兩點(diǎn)A、C， 過(guò)這兩點(diǎn)分別向x軸引垂線，交x軸于B、D兩點(diǎn)， 連結(jié)OA、OC，記△ABO、△CDO的面積為 ， 則 與 的大小關(guān)系是( ) A. B. C. D.不確定 分析：由基礎(chǔ)知識(shí)7知 ，故選C. 例4．已知反比例函數(shù) 的圖像上有兩點(diǎn)A( ， )，B( ， )， 且 ，則 的值是（ ） A、正數(shù) B、負(fù)數(shù) C、非正數(shù) D、不能確定 分析：由 可分為 ，易得 ，故選D.特別要注意反比例函數(shù)的增減性是對(duì)每一支曲線而言. 例5．如圖是三個(gè)反比例函數(shù) ， ， 在x軸上方的圖象，由此觀察得到 、 、 的大小關(guān)系為（ ）
A、 B、 C、 D、 分析：根據(jù)圖象所在的象限，知 ，取 得 ，即 ，故選B. 例6．在矩形ABCD中AB=3，BC=4，P是BC邊上與B點(diǎn)不重合的任意點(diǎn)，PA=x，D點(diǎn)到PA的距離為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并畫出函數(shù)的圖像以及自變量x的取值范圍. D B A E C P 解：如圖，由題意（1）∠DEA=∠ABP，∠1=∠2，∴⊿DEA∽⊿ABP，∴
即 (2) ∵P在BC上,與B不重合,可以與C重合 , . (3)由于函數(shù)自變量的取值范圍是3<x≤5，所以y對(duì)應(yīng)的取值范圍是 ，因此圖像只是一段曲線 , 其中不包括（3，4）而包括（5， ）.(圖略) 例7.已知一個(gè)函數(shù)具有以下條件：（1）該圖象經(jīng)過(guò)第四象限；（2）當(dāng) 時(shí)， y隨x的增大而增大；（3）該函數(shù)圖象不經(jīng)過(guò)原點(diǎn).請(qǐng)寫出一個(gè)符合上述條件的函數(shù)關(guān)系式： . 分析:這是一道開放題,必須非常熟悉函數(shù)的圖象和性質(zhì),才能解決問(wèn)題.符合上述條件的函數(shù)關(guān)系式為 . 例8、某自來(lái)水公司計(jì)劃新建一個(gè)容積為40000 的長(zhǎng)方形蓄水池. （1）蓄水池的底面積S（ ）與其深度h（m）有怎樣的函數(shù)關(guān)系？ （2）如果蓄水池的深度設(shè)計(jì)為5m，那么蓄水池的底面積應(yīng)為多少平方米？ （3）由于綠化以及輔助用地的需要，經(jīng)過(guò)實(shí)地測(cè)量，蓄水池的長(zhǎng)和寬最多能分別設(shè)計(jì)為100m和60m，那么蓄水池的深度至少達(dá)到多少才能滿足要求？（保留兩位小數(shù)） 分析：這是一道反比例函數(shù)在生活實(shí)際中應(yīng)用的問(wèn)題，通過(guò)長(zhǎng)方體體積公式v＝sh的變式來(lái)解決問(wèn)題(1)，得到 與 進(jìn)行類比，得到是反比例函數(shù)關(guān)系；問(wèn)題（2）和問(wèn)題（3）則都是知道關(guān)系式中一個(gè)變量求另外一個(gè)變量，只需代入關(guān)系式計(jì)算出所求值即可，引導(dǎo)學(xué)生明白解決問(wèn)題一定依靠函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行. 以上我們通過(guò)例題分析了反比例函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)在不同類型題目中的應(yīng)用，我們?cè)谝院蟮膶W(xué)習(xí)中一定要打好基礎(chǔ)、學(xué)會(huì)舉一反三。
|