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初中數(shù)學(xué)常見的幾種數(shù)學(xué)思想
初中數(shù)學(xué)常見的幾種數(shù)學(xué)思想 與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)一樣,數(shù)學(xué)思想也是數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一。重視與加強(qiáng)中學(xué)數(shù)學(xué)思想的教學(xué),這對(duì)于抓好雙基,培養(yǎng)能力以及培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)都具有十分重要的作用。本人結(jié)合幾年的初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐,認(rèn)為初中數(shù)學(xué)常見的數(shù)學(xué)思想有以下幾種:
一.字母代數(shù)思想
用字母代替數(shù)字,是初中生最先接觸到的數(shù)學(xué)思想,也是初等代數(shù)以至整個(gè)數(shù)學(xué)最重要最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)思想。
在初中數(shù)學(xué)中,用字母代替數(shù)字,各種量、量的關(guān)系、量的變化以及量與量之間進(jìn)行推理與演算,都是以符號(hào)形式(包括數(shù)字、字母、圖形和圖表以及各種特定的符號(hào))來(lái)表示的,即進(jìn)行著一整套的形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。例如:用∣a︱表示某個(gè)數(shù)的絕對(duì)值,用- a表示某個(gè)數(shù)的相反數(shù),用an表示n個(gè)a連續(xù)相乘的積,用s=40t表示路程與時(shí)間的關(guān)系,用一對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)表示某個(gè)點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的位置。
初中數(shù)學(xué)教材在七(上)第三章講解用字母代替數(shù)字,也就是當(dāng)學(xué)生剛從小學(xué)生轉(zhuǎn)變?yōu)槌踔猩?便開始從原有的數(shù)字與數(shù)字的運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)橛米帜复鏀?shù)字進(jìn)行推理與運(yùn)算,這對(duì)大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)要有一個(gè)轉(zhuǎn)變適應(yīng)的過(guò)程,所以蘇科版新教材以一些豐富、貼近學(xué)生生活的情境來(lái)引導(dǎo)學(xué)生逐漸掌握用字母代替數(shù)的數(shù)學(xué)思想。用字母表示數(shù)是“代數(shù)”的基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn),也是“符號(hào)感”的主要表現(xiàn)之一。其實(shí),日常生活中人們經(jīng)常用符號(hào)表示某種意義,例如:天氣預(yù)報(bào)圖標(biāo)、交通標(biāo)志、五線譜等,從這樣的情境出發(fā),有助于學(xué)生借助已有經(jīng)驗(yàn)感受“在數(shù)學(xué)中,經(jīng)常用字母表示數(shù)”。
用字母表示數(shù)是從算術(shù)到代數(shù)的重要轉(zhuǎn)折點(diǎn),但是,它的學(xué)習(xí)是建立在算術(shù)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上的。教師應(yīng)當(dāng)通過(guò)具體數(shù)字運(yùn)算,讓學(xué)生觀察,總結(jié)規(guī)律,形成對(duì)“用字母表示數(shù)”的必要性的認(rèn)識(shí)。實(shí)際上,過(guò)去學(xué)過(guò)的運(yùn)算律(交換律、結(jié)合律、分配律等)、簡(jiǎn)單幾何圖形的面積、行程問(wèn)題等知識(shí),都能說(shuō)明用字母表示數(shù)的重要意義:普遍性、應(yīng)用的廣泛性等。
總之,要學(xué)好初中數(shù)學(xué)首先必須掌握好用字母代替數(shù)的數(shù)學(xué)思想。
二.化歸轉(zhuǎn)換思想
化歸,即轉(zhuǎn)化與歸結(jié)的意思。把有待解決或未解決的問(wèn)題,通過(guò)轉(zhuǎn)化過(guò)程,歸結(jié)為所熟悉的規(guī)范性問(wèn)題或已解決的問(wèn)題中去,從而求得問(wèn)題解決的思想。
人們?cè)谘芯窟\(yùn)用數(shù)學(xué)的長(zhǎng)期實(shí)踐中,獲得了大量的成果,也積累了豐富的經(jīng)驗(yàn),許多問(wèn)題的解決已經(jīng)形成了固定的方法模式和約定俗成的步驟。人們把這種有規(guī)定的解決方法和程序的問(wèn)題,叫做規(guī)范問(wèn)題,而把一個(gè)未知的或復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為規(guī)范問(wèn)題的過(guò)程稱為問(wèn)題的化歸。
例如,對(duì)于整式方程(如一元一次方程、一元二次方程),人們已經(jīng)掌握了等式基本性質(zhì)、求根公式等理論,因此,求解整式方程的問(wèn)題是規(guī)范問(wèn)題,而把有關(guān)分式方程通過(guò)去分母轉(zhuǎn)化為整式方程的過(guò)程,就是問(wèn)題的規(guī)范化。
為了實(shí)現(xiàn)“化歸”,數(shù)學(xué)中常常借助于“代換”,又稱之為轉(zhuǎn)換。代數(shù)中有恒等變換,方程、不等式的同解變換;幾何中全等變換、相似變換、等積變換。轉(zhuǎn)換是手段,揭示其中不變的東西才是目的,為了不變的目的去探索轉(zhuǎn)換的手段就構(gòu)成解題的思路和技藝。例如,已知x2+y2+2x-6y+10=0,求xy。對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)本題無(wú)法直接解出關(guān)于x,y的二元二次方程。但是如果從完全平方公式著手,已知條件可以轉(zhuǎn)換為(x+1)2+(y-3)2=0。又因?yàn)榕即蝺缇哂蟹秦?fù)性,即(x+1)2≥0,(y-3)2≥0,所以(x+1)2=0,(y-3)2=0,從而得出x=-1,y=3。最終問(wèn)題得以解決。
三.分解組合思想
當(dāng)面臨的數(shù)學(xué)問(wèn)題不能以統(tǒng)一的形式解決時(shí),可以把涉及的范圍分解為若干個(gè)分別研究問(wèn)題局部的解。然后通過(guò)組合各局部的解而得到原問(wèn)題的解,這種思想就是分解組合思想,其方法稱為分類討論法。
分解組合,是重要的數(shù)學(xué)思想之一。對(duì)于復(fù)雜的計(jì)算題、證明題等,運(yùn)用分解組合的思想方法去處理,可以幫助學(xué)生進(jìn)行全面嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃伎己头治?從而獲得合理有效的解題途徑。例如,等腰三角形兩邊長(zhǎng)分別是4和5,求這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)。解決本題首先分類討論:①若4為底,則5為腰,三邊長(zhǎng)分別為4,5,5,可以構(gòu)成三角形,此時(shí)周長(zhǎng)為14;②若5為底,則4為腰,三邊長(zhǎng)分別為5,4,4,可以構(gòu)成三角形,此時(shí)周長(zhǎng)為13。
四.方程函數(shù)思想
方程的思想和函數(shù)的思想是處理常量數(shù)學(xué)與變量數(shù)學(xué)的重要思想,在解決一般數(shù)學(xué)問(wèn)題中具有重大的意義。在初中數(shù)學(xué)中,方程與函數(shù)是極為重要的內(nèi)容,對(duì)各類方程和簡(jiǎn)單函數(shù)都作較為系統(tǒng)的學(xué)習(xí)研究。對(duì)一個(gè)較為復(fù)雜的問(wèn)題,常常只須尋找等量關(guān)系,列出一個(gè)或幾個(gè)方程(方程組)或函數(shù)關(guān)系式,就能很好地得到解決。
例如,某燈具店采購(gòu)了一批某種型號(hào)的節(jié)能燈,共用去400元。在搬運(yùn)過(guò)程中不慎打碎了5盞,該店把余下的燈每盞加價(jià)4元全部售出,然后用所得的錢又采購(gòu)了一批這種節(jié)能燈,且進(jìn)價(jià)與上次相同,但購(gòu)買的數(shù)量比上次多了9盞,求每盞燈的進(jìn)價(jià)。
五.數(shù)形結(jié)合思想
數(shù)形結(jié)合不僅使幾何問(wèn)題獲得了有力的代數(shù)工具,同時(shí)也使許多代數(shù)問(wèn)題具有了顯明的直觀性。數(shù)形結(jié)合是初中數(shù)學(xué)中十分重要的思想,在數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決中具有數(shù)學(xué)獨(dú)特的策略指導(dǎo)與調(diào)節(jié)作用。例如,二元一次方程組的圖像解法,把數(shù)量關(guān)系問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)問(wèn)題;A,B兩地之間修建一條 100千米 長(zhǎng)的公路,C處是以C點(diǎn)為中心,方圓 50千米 的自然保護(hù)區(qū),A在C西南方向,B在C的南偏東30度方向,問(wèn)公路AB是否會(huì)經(jīng)過(guò)自然保護(hù)區(qū)?
當(dāng)然,初中數(shù)學(xué)所涉及到的數(shù)學(xué)思想不止這五種。以上只是本人對(duì)初中數(shù)學(xué)常見的幾種數(shù)學(xué)思想的淺見,在今后的教學(xué)實(shí)踐中本人將更加重視與加強(qiáng)對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想的數(shù)學(xué),提高學(xué)生的解題能力,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
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