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淺談導數(shù)的應用
淺談導數(shù)的應用 【摘要】導數(shù)的廣泛應用,為我們解決函數(shù)問題提供了有力的工具,用導數(shù)可以解決函數(shù)中的最值問題,不等式問題,還可以解析幾何相聯(lián)系,可以在知識的網(wǎng)絡交匯處設計問題。因此,在教學中,要突出導數(shù)的應用。
【關鍵詞】導數(shù);應用;函數(shù);不等式
【Abstract】The derivative widespread application, solved the function problem for us to provide the powerful tool, might solve in the function most value problem with the derivative, the inequality question, but might also the analytic geometry relate, might in the knowledge network intersection point design question. Therefore, in the teaching, must highlight the derivative the application.
【Keywords】Derivative; Using; Function; Inequality
導數(shù)是近代數(shù)學的重要基礎,是聯(lián)系初、高等數(shù)學的紐帶,它的引入為解決中學數(shù)學問題提供了新的視野, 是研究函數(shù)性質(zhì)、證明不等式、探求函數(shù)的極值最值、求曲線的斜率和解決一些物理問題等等的有力工具。本文擬就導數(shù)的應用,談一點個人的感悟和體會。
1以導數(shù)概念為載體處理函數(shù)圖象問題函數(shù)圖象直觀地反映了兩個變量之間的變化規(guī)律,由于受作圖的局限性,這種規(guī)律的揭示有時往往不盡人意. 導數(shù)概念的建立拓展了應用圖象解題的空間。
例1:(2007浙江卷)設 是函數(shù)f(x)的導函數(shù),將y= f(x)+f′(x)和的圖象畫在同一個直角坐標系中,不可能正確的是(D)
例2:(2005江西卷) 已知函數(shù)y= xf′(x)的圖象如右圖所示(其中f′(x))是函數(shù) f(x)的導函數(shù)),下面四個圖象中y= f(x)的圖象大致是(C)
分析:由圖象知,f′(1)=f′(-1) =0,所以x=±1是函數(shù)f(x)的極值點,又因為在(-1,0)上,f′(x)<0,在(0,1)上,f′(x)>0,因此在(-1,1)上,f(x)單調(diào)遞減,故選C。
2以導數(shù)知識為工具研究函數(shù)單調(diào)性對函數(shù)單調(diào)性的研究,導數(shù)作為強有力的工具提供了簡單、程序化的方法,具有普遍的可操作方法。
例3:已知f(x)=x3+bx2+cx+d是定義在R上的函數(shù), 其圖象交x軸于A、B、C三點, 點B的坐標為(2,0),且 f(x)在[-1,0]和[0,2]有相反的單調(diào)性. ①求C的值. ②若函數(shù)f(x)在[0,2]和[4,5]也有相反的單調(diào)性, f(x)的圖象上是否存在一點M, 使得f(x)在點M的切線斜率為3b? 若存在, 求出M點的坐標. 若不存在, 說明理由.
分析:①f′(x)=3x2+2bx+c,
∵f(x)在[-1,0]和[0,2]有相反的單調(diào)性.
∴ x=0是f(x)的一個極值點, 故f′(0)=0. ∴c=0.
②令f′(x)=0得3x2+2bx=0,x1=0,x2=
因為f(x)在[0,2]和[4,5] 有相反的單調(diào)性,
∴f′(x)在[0,2]和[4,5] 有相反的符號.
故2≤-2b3≤4,-6≤b≤-3.
假設存在點M(x0,y0)使得f(x)在點M的切線斜率為3b,則f′(x0)=3b.
即3x02+2bx0-3b=0.∵△=4b2-4·3·(-3b)=4b(b+9),而f′(x0)=3b.
∴△<0.
故不存在點M(x0,y0)使得f(x)在點M的切線斜率為3b.
3證明不等式彰顯導數(shù)方法運用的靈活性把要證明的一元不等式通過構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為f(x)>0(<0)再通過求f(x)的最值,實現(xiàn)對不等式證明,導數(shù)應用為解決此類問題開辟了新的路子,使過去不等式的證明方法從特殊技巧變?yōu)橥ǚ?彰顯導數(shù)方法運用的靈活性、普適性。
例4:(1)求證:當a≥1時,不等式對于n∈R恒成立.
(2)對于在(0,1)中的任一個常a ,問是否存在x0>0使得ex0-x0-1>a·x022 ex0成立?如果存在,求出符合條件的一個x0;否則說明理由。
分析:(1)證明:(Ⅰ)在x≥0時,要使(ex-x-1)≤ax2e|x|2成立。
只需證: ex≤a2x2ex+x+1即需證:1≤a2x2+x+1ex①
令y(x)=a2x2+x+1ex,求導數(shù)y′(x) =ax+1·ex-(x+1)ex(ex)2=ax+-xex
∴y′(x)=x(a-1ex),又a≥1,求x≥0,故y′(x) ≥0
∴f(x)為增函數(shù),故f(x)≥y(0)=1,從而①式得證
(Ⅱ)在時x≤0時,要使ex-x-1≤ax2e|x|2 成立。
只需證:ex≤a2x2ex+x+1,即需證:1≤ax22e-2x+(x+1)e-x②
令m(x)=ax22e-2x+(x+1)e-x,求導數(shù)得m′(x)=-xe-2x[ex+a(x-1)]
而φ(x)=ex+a(x-1)在x≤0時為增函數(shù)
故φ(x)≤φ(0)=1-a≤0,從而m(x) ≤0
∴m(x)在x≤0時為減函數(shù),則m(x)≥m(0)=1,從而②式得證
由于①②討論可知,原不等式ex-x-1≤ax2e|x|2在a≥1時,恒成立
(2)解:ex0-x0-1≤a·x02|x|2ex0將 變形為ax022+x0+1ex0-1<0 ③
要找一個x0>0,使③式成立,只需找到函t(x)=ax22+x+1ex-1 的最小值,
滿足t(x)min<0即可,對t(x)求導數(shù)t′(x)=x(a-1ex)
令t′(x)=0得ex =1a,則x= -lna,取X0= -lna
在0<x<-lna時,t′(x) <0,在x > -lna時,t′(x) >0
t(x)在x=-lna時,取得最小值t(x0)=a2(lna) 2+a( -lna+1)-1
下面只需證明:a2(lna) 2-alna+a-1<0,在0<a<1時成立即可
又令p(a) =a2(lna) 2-alna+a-1,對p(a)關于a求導數(shù)
則p′(a) =12(lna) 2≥0,從而p(a)為增函數(shù)
則p(a)<p(1)=0,從而a2(lna) 2-alna+a-1<0得證
于是t(x)的最小值t(-lna)<0
因此可找到一個常數(shù)x0=-lna(0<a<1),使得③式成立
最值證明在不等式中的應用,一般轉(zhuǎn)化不等式(轉(zhuǎn)化的思想)構(gòu)造一個函數(shù),(函數(shù)的思想方法)然后求這個函數(shù)的極(最)值,應用恒成立關系就可以證明,對于應用導數(shù)解決實踐問題,關鍵是建立恰當?shù)臄?shù)學模型。
4求曲線y=f(x)在點(x0,y0)處的切線的斜率,運用導數(shù)的幾何意義函數(shù)在某點的導數(shù),其幾何意義是曲線在該點處切線的斜率,利用導數(shù)可以十分便捷地分析處理解析幾何中的有關切線問題。
例5:已知函數(shù)f(x)=ln x,g(x)=12x2-a(a為常數(shù)),若直線l與y=f(x)和y=g(x)的圖象都相切,且l與y=f(x)的圖象相切于定點P(1,f(1)).
(1)求直線l的方程及a 的值;
(2)當k∈R時,討論關于x的方程f(x2+1)-g(x)=k的實數(shù)解的個數(shù).
分析:(1)∵f′(x)=,∴f′(1)=1 ∴k1=1,又切點為P(1,f(1)),即(1,0)
∴l(xiāng)的解析式為y=x-1,
∵l與y=g(x)相切,由y=x-1
y=12x2+a,消去y得x2-2x+2a+2=0
∴△=(-2)2-4(2a+2)=0,得a=- 12
(2)令h(x)= f(x2+1)-g(x)=ln(x2+1)-12x2+12
∵h′(x) =2x1+x2-x=-x(x-1)(x+1)1+x2,則h′(x) >0,h(x) 為增函數(shù),-1<x<0或x>1時,h′(x) <0,h(x) 為減函數(shù)。
故x=±1時,h(x)取極大值ln2,x=0時,h(x)取極小值12。
因此當 k∈(ln2,+∞),原方程無解;當k=ln2時,原方程有兩解;當12<k<ln2時,原方程有四解;當k=12時,原方程有三解;當k<12時,原方程有兩解。
5利用導數(shù)求函數(shù)極(最)值解答這類問題的方法是:①根據(jù)求導法則對函數(shù)求出導數(shù)。②令導數(shù)等于0,解出導函數(shù)的零點。③分區(qū)間討論,得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。④判斷極值點,求出極值。⑤求出區(qū)間端點值與極值進行比較,求出最值。
例6:設x1、x2是函數(shù)f(x)=ax3+bx2-a2x (a>0)的兩個極值點.
(1)若x1=-1,x2=2,求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若|x1|+|x2|=22,求f(x)的最大值;
分析:(1)∵f(x)=ax3+bx2-a2x (a>0),∴f′(x)=ax3+bx2-a2x (a>0)
依題意有f′(-1)=0
f′(2)=0,∴ 3a-2b-a2=0
12a+4b-a2=0
解得a=6
b=-9,∴f(x)=6x2+9x2-36x.
(2)∵f′(x)=3ax2+2bx-a2(a>0),
依題意,x1,x2是方程f′(x)=0的兩個根,且|x1|+|x2|=22,
∴(x1+x2)2-2x1x2+|x1+x2|=8.
∴(-2b3a)2·(-a3)+2|-a3|=8,∴b2=3a2(6-a).
∵b2≥0,∴0<a≤6.
設p(a)=3a2(6-a),則p′(a)=-9a2+36a.
由p′(a) >0得0<a<4,由p′(a) >0得a>4.
即:函數(shù)p(a) 在區(qū)間(0,4]上是增函數(shù),在區(qū)間[4,6]上是減函數(shù),
∴當a=4時,p(a)有極大值為96,∴p(a)在(0,6]上的最大值是96,
∴b的最大值為46.
導數(shù)的廣泛應用,為我們解決函數(shù)問題提供了有力的工具,用導數(shù)可以解決函數(shù)中的最值問題,不等式問題,還可以解析幾何相聯(lián)系,可以在知識的網(wǎng)絡交匯處設計問題。因此,在教學中,要突出導數(shù)的應用。
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