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“不可破譯”的密碼
“不可破譯”的密碼 密碼在當(dāng)今社會生活中的作用可以說十分巨大,除了眾所周知的軍事國防方面的應(yīng)用外,現(xiàn)代金融、貿(mào)易、生產(chǎn)等無不在大規(guī)模使用密碼.計算機網(wǎng)絡(luò)的廣泛應(yīng)用,使人們對密碼的依賴達到了新的高度,在千百萬臺計算機聯(lián)結(jié)成的因特網(wǎng)上,用戶的識別基本上是靠密碼.密碼被破譯就會產(chǎn)生危及安全的極嚴(yán)重的后果.計算機“黑客”的作為,即為密碼破譯的一例,連美國國防部的計算機都未能幸免,可見密碼編制的難度了.
由大整數(shù)因數(shù)分解的困難,人們研制成功一種“不可破譯”的密碼:RSA體制密碼(見本刊2000年第6期《大整數(shù)的因數(shù)分解問題》一文).RSA密碼是一種公開密鑰密碼,說它“不可破譯”是形容破譯之難,不過的確至今尚沒找到破譯的理論工具.
一般密碼編制理論中,稱要傳遞的原文為“明文”,經(jīng)加密后實際傳遞的是密碼構(gòu)成的“密文”,收信方則將其解密,恢復(fù)為明文使其可理解,就完成了通信任務(wù).這其中加密和解密要用通信雙方約定的方法,這一方法就稱為密鑰.更一般地,人們首先給定一個加密算法,不太嚴(yán)格地說,可把這一算法視為函數(shù),函數(shù)的值就是密鑰,而解密算法可以說是加密算法的一個反函數(shù),使用同一個密鑰(原函數(shù)的值)可將密文惟一地譯成明文.
密碼的關(guān)鍵就在于通信雙方約定密鑰而不被外界所知,外界對密碼的破譯也就指向密鑰了.而且為了防止外界可能的破譯,就應(yīng)盡力使外人不可能積累在同一密鑰下的許多密文,否則可用統(tǒng)計分析法等確定出密鑰,世界戰(zhàn)爭史、外交史上有許多破譯成功的例子.這樣就經(jīng)常變換密鑰,重要的通信要每天一換甚至通一次信換一次.
這么頻繁換的密鑰怎樣送給對方?如果隨其他信息(用無線電或網(wǎng)絡(luò))易于失密,每次派專人送又不可能,怎樣解決這一問題呢?這就是RSA密碼的長處了,它把密鑰分成加密鑰和解密鑰.如A和B通信,A把加密鑰公開送達B(可用明碼電報或與上次通信同時),不怕外人知道,所以叫公開密鑰,而解密鑰留在自己處不送達B,B收到公開密鑰后,用它加密要給A的信息,然后送回A(這也無須特別秘密),則A可用手中的解密密鑰解密.
外人沒有解密密鑰,就無從破譯密碼了,那么加密鑰和解密鑰就沒有關(guān)系了嗎?當(dāng)然不是,否則就無法解密了.不過這種關(guān)系正是建立在大整數(shù)因數(shù)分解困難的基礎(chǔ)上.換句話說,由公開密鑰得出解密鑰要進行一個充分大的整數(shù)的因數(shù)分解,你無法分解也就無法破譯.
具體的編碼過程是,先找出兩個不同的大素數(shù)p和q,再給定一個數(shù)r(一般是用計算機產(chǎn)生一個隨機數(shù)或至少一個偽隨機數(shù),也可每次一換),使r與數(shù)(p-1)(p-1)互素,這三個數(shù)p、q、r就是解密密鑰.
再求一個數(shù)m,使(rm-1)能被(p-1)(q-1)整除.嚴(yán)格表述為:求m,使
rm≡1(mod(p-1)(q-1)).
由于r與(p-1)(q-1)互素,所以m是一定可求出來的(有數(shù)論定理保證).再求出數(shù)n=pq.m、n為加密密鑰,即公開密鑰.
具體的加密方法為,設(shè)明文為x,可把x視為(或變?yōu)?一個大整數(shù),設(shè)x<n,若x≥n,則將x表示為s進位的形式(s≤n,常用s=2t形式)的數(shù),使其每一個數(shù)位上的數(shù)都小于n,再分數(shù)位進行編碼.求一個數(shù)y(0≤y<n)使
y≡xm(modn)(可理解為,使(y-xm)能被n整除),y就是用m、n密鑰加密后的密文.
解密過程為,求
z=yr(modn)(0≤z<n),
在限定的條件(0≤y<n,0≤z<n)下有(可嚴(yán)格證明)
δ=x,
即得出明文.
外人要想破譯密碼,就必須由m、n求出數(shù)r來.
由此可見,要找到r必須由n得出p和q,即對n進行因數(shù)分解,如p、q取得相當(dāng)大,即n相當(dāng)大,由于分解困難,無法破譯這一密碼.
由于運用現(xiàn)代計算機已可分解100位左右數(shù)的因數(shù),因此n要取得相當(dāng)大,從而p、q也要取得相當(dāng)大,比如每個數(shù)80位以上,再求積,這在技術(shù)上是可能的.
是否還應(yīng)考慮相應(yīng)計算的復(fù)雜性和計算所需要的時間呢?當(dāng)然有這方面的問題,現(xiàn)在通常用復(fù)合編碼法解決,即用其他計算比較簡單、耗時少的編碼方法編碼,而每次編碼所采用的密鑰用RSA密碼來傳遞,這既加強了安全性,又加快了速度.
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