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“排列、組合”單元的教學體會
“排列、組合”單元的教學體會 1.調(diào)整教材內(nèi)容順序,加強認知結構的層級性
智慧技能的教學是學校教學的中心任務.著名認知心理學家加涅認為,智慧技能主要涉及概念和規(guī)則的掌握與運用,它由簡單到復雜構成一個階梯式的層級關系:概念(需要以辨別為先決條件)→規(guī)則(需要以概念為先決條件)→高級規(guī)則(需要以規(guī)則為先決條件).因此,對于中學數(shù)學的每個單元,學生應該按照加涅關于智慧技能由簡單到復雜構成的這個層級關系去學習,以便按照這個層級關系把所學的知識組織到大腦當中,形成具有良好層級性的認知結構.
據(jù)此,筆者在“排列、組合”單元的教學中,將教材內(nèi)容的順序進行了調(diào)整.調(diào)整后的結構如圖1所示.排列、組合P概念從飛機票和飛機票價等具體問題的辨別入手,得出排列與組合的概念,進而介紹排列數(shù)概念、組合數(shù)概念及其符號表示.
排
列
、
組
合
概念
從飛機票和飛機票價等具體問題的辨別入手,得出排列與組合的要領進而介紹排列數(shù)概念、組合數(shù)概念及其符號表示.
專題一
算法
在解釋P1n=n,C1n=n(n∈Z+)的基礎上,介紹加法原理和乘法原理(引例和例題的處理均須用由P1n或C1n組成的算式來解答).
專題二
排列數(shù)公式與計算
專題三
組合數(shù)公式、計算與性質
應用
用直譯法解決純排列與組合問題(同時用分步法解答純排列問題).題型如1990年人教版高中《代數(shù)》下冊(必修)(簡稱:高中《代數(shù)》下冊.下同)第234頁例3、第245頁例2.
專題四
用分類法解決加法原理的簡單應用題.題型如高中《代數(shù)》下冊第234頁例4(此例還可用分步法)、第245頁例3.
專題五
用分步法、分類法和排除法解綜合性排列與組合問題.題型如高中《代數(shù)》下冊第235頁例5、第246頁例4.
專題六
圖1
于是該單元的教學次序是:基本概念的形成(排列與組合的概念、排列數(shù)與組合數(shù)的概念)→基本算法規(guī)則的掌握(原理與公式)→概念和算法規(guī)則相結合的應用(這里是以解題規(guī)律為主線,把排列應用題和組合應用題一并按其解法由易到難分層次集中而對偶地解決的),完全符合加涅關于智慧技能的學習必須按從概念到規(guī)則,再到高級規(guī)則的層級順序去進行的規(guī)律,理順了學生學習排列、組合內(nèi)容的認知層次,加強了該單元認知結構的層級性.
2.運用先行組織者,促成認知結構的穩(wěn)定性
運用先行組織者以改進教材的組織與呈現(xiàn)方式,是提高教材可懂度,促進學生對教材知識的理解的重要技術之一.其目的是從外部影響學生的認知結構,促成認知結構的穩(wěn)定性.
因為高中生首次面對排列、組合單元的學習任務時,其認知結構中缺乏適當?shù)纳衔挥^念用來同化它們,因此,我們在該單元的入門課里,在沒有正式學習具體內(nèi)容之前,先呈現(xiàn)如圖2所示的組織者,能起到使學生獲得一個用來同化排列、組合內(nèi)容的認知框架的作用.
排
列
、
組
合
概念
排列、組合的概念
算法
算法原理、計算公式
應用
解排列、組合問題
圖2
值得一提的是,安排在本文的入門課——專題一中的飛機票和飛機票價等具體問題,以及安排在基本原理課題中的兩個引例,它們也分別起到了學習相應內(nèi)容的具體模型組織者的作用.
3.實行近距離對比,強化認知結構的可辨別性
如果排列概念和組合概念在學生頭腦中的分離程度低,加法原理和乘法原理在學生頭腦中的可辨別性差,則會造成學生對排列和組合的判定不清,對加法原理和乘法原理的使用不準,從而嚴重影響學生解排列、組合問題的正確性.因此,在教學中我們必須增強它們在學生頭腦中的可辨別性,以達到促使學生形成良好的“排列、組合”認知結構之目的.
按調(diào)整后結構的順序教學,很自然地實行了近距離對比,加大了排列與組合、加法原理和乘法原理的對比力度,從而強化了它們在學生頭腦中的可辨別性.
(1)在入門課里,開篇就將排列概念和組合概念進行近距離對比,有利于引導學生得到并掌握排列和組合的判定標準:看實際效果與元素的順序有無關系.
(2)專題二首次近距離比較加法原理和乘法原理,并運用其判定標準——是分類還是分步,去完成對實際問題的處理,以加強學生對它們的理解與辨別.
(3)專題四、五、六里,把排列、組合問題按其解法分層次對偶地解決,在沒有單獨占用課時的情況下,很自然地為排列和組合的近距離比較,為加法原理和乘法原理的運用對比,提供了切實而盡可能多的機會.
4.及時歸納總結,增強認知結構的整體性與概念性
我們知道,認知結構是人們頭腦中的知識結構,也就是知識在人們頭腦中的系統(tǒng)組織,它具有整體性和概括性.認知心理學認為,認知結構的整體性越強、概括水平越高,就越有利于學習的保持與遷移.因此,在每個單元的教學中,我們必須隨著該單元教學進度的推進,及時歸納總結已學內(nèi)容的規(guī)律,以促進學生認知結構概括水平的不斷提高,最終促使學生高效高質地整體掌握該單元,從而形成整體性強、概括程度高的認知結構.
于是對于“排列、組合”單元,筆者就隨著教學進度的深入,引導學生不斷歸納、及時總結出以下各規(guī)律:
(1)排列與組合的判定標準(見前文).
(2)加、乘兩原理的判定標準(見前文).
(3)排列數(shù)公式的特征(略).
(4)組合數(shù)與排列數(shù)的關系(略).
(5)解排列、組合問題的基本步驟與方法:
①仔細審清題意,找出符合題意的實際問題.
所有排列、組合問題,都含有一個“實際問題”,找出了這個實際問題,就找到了解題的入口.
②逐一分析題設條件,推求“問題”實際效果,采取合理處理策略.
處理排列、組合問題的常用策略有:正面入手;正難則反;調(diào)換角度;整、分結合;建立模型等.但不管采用哪個策略,我們都必須從問題的實際效果出發(fā),都必須保證產(chǎn)生相同的實際效果.因此,實際問題的實際效果,就是我們解排列、組合問題的出發(fā)點和落腳點,因而也可以說是解排列、組合問題的一個關鍵.
③根據(jù)問題“實際效果”和所采取的“處理策略”,確定解題方法.
解排列、組合問題的方法,不同的提法很多,其實歸根到底,不外乎以下五種:枚舉法;直譯法;分步法;分類法;排除法.如所謂插空法,推究起來也只不過是在調(diào)換角度考慮的策略下的分步法而已.
5.注意策略的教學與培養(yǎng),增大認知結構的可利用性
智育的目標是:第一,通過記憶,獲得語義知識,即關于世界的事實性知識,這是較簡單的認知學習.第二,通過思維,獲得程序性知識,即關于辦事的方法與步驟的知識,這是較復雜的認知學習.第三,在上述學習的同時,獲得策略知識,即控制自己的學習與認知過程的知識,學會如何學習,如何思維,這是更高級的認知學習,也是人類學習的根本目的.
所謂策略,指的就是認知策略的學習策略,認知策略是個人用以支配自己的心智加工過程的內(nèi)部組織起來的技能,包括控制與調(diào)節(jié)自己的注意、記憶、思維和解決問題中的策略.學習策略是“在學習過程中用以提高學習效率的任何活動”,包括記憶術,建立新舊知識聯(lián)系,建立新知識內(nèi)部聯(lián)系,做筆記、摘抄、寫節(jié)段概括語和結構提綱,在書上評注、畫線、加標題等促進學習的一切活動.
在中學生的數(shù)學學習中,如果學生的認知結構中缺乏策略或策略的水平不高,那么學生的學習效果就不好、學習效率就不高,特別是在解題過程中,就會造成不能利用已學的相關知識而找不到解題途徑,或造成利用不好已學的相關知識而使解題思路受阻,或造成不能充分利用好已學的相關知識而使解題方法不佳,以致解題速度不快、解答過程繁冗、解答結果不準確等.因此,中學數(shù)學教學,必須重視策略的教學和培養(yǎng),讓學生學會如何學習和如何思維,以增大學生認知結構的可利用性.
為此,筆者在“排列、組合”單元的教學中,除注意一般性學習策略(如做筆記、畫線、注記和寫單元結構圖等)的培養(yǎng)以外,更注重解排列、組合問題的培養(yǎng)和訓練.
(1)在專題二、四、五、六里,對排列、組合問題解法的教學,始終按“仔細審清題意,找出符合題意的實際問題→逐一分析題設條件,推求問題實際效果,采取合理處理策略→根據(jù)問題實際效果和所采取的處理策略,確定解題方法”的基本步驟進行,以培養(yǎng)學生在解排列、組合問題時,有抓住“實際問題的實際效果”這個關鍵的策略意識和策略能力.
(2)重視一題多解和錯解分析(多解的習題要有意講評,例題講解可故意設錯).
一題多解能拓寬解題思路,讓學生見識各種解題方法和處理策略.另外,一題多解又能通過比較各種解法的優(yōu)劣,使學生在較多的思路和方法中優(yōu)選.同時,因為解排列、組合問題,其結果(數(shù)值)往往較大,不便于檢驗結果的正確性,而一題多解可以通過各種解法所得結果的比較,來檢驗我們所作的解答是否合理、是否正確,從而起到檢查、評價乃至調(diào)控我們對排列、組合問題的解答的作用.
錯解分析能使學生注意到解答出錯的原因所在,同時使學生體驗到解題策略調(diào)節(jié)的必要性和方法,防止今后犯類似的錯誤,增強學生解題糾錯力.
故意設錯如高中《代數(shù)》下冊第246頁例4的第(3)小題:如果100件產(chǎn)品中有兩件次品,抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少種?
錯解:由分步法得C12C299=9702(種).
略析:像該題一樣的“至少”問題最好莫用分步法,這里分步出現(xiàn)了重復計算(以上錯解是學生易犯錯誤,教學中必須注意).
參考文獻
1 邵瑞珍主編.學與教的心理學.上海:華東師范大學出版社,1990
2 袁賢瓊.優(yōu)化和發(fā)展學生數(shù)學認知結構的認識與實踐.中學數(shù)學,1991,1
3 陳學軍.數(shù)學教學中學生學習策略的教學與培養(yǎng).中學數(shù)學教學參考,1999,4
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