|
一種多目標(biāo)決策問題的模糊解法
一種多目標(biāo)決策問題的模糊解法 摘要:針對(duì)定性多目標(biāo)決策問題,提出了一種利用模糊集理論來求解的方法。它先對(duì)目標(biāo)及權(quán)重進(jìn)行模糊化,然后通過模糊運(yùn)算及反模糊化的過程得到各方案的評(píng)價(jià)值,進(jìn)而進(jìn)行多目標(biāo)決策。文章最后通過對(duì)豐滿水庫實(shí)際洪水調(diào)度方案的多目標(biāo)決策,表明了該方法的可行性和有效性,同時(shí)還具有簡(jiǎn)單、實(shí)用、直觀的優(yōu)點(diǎn)。
關(guān)鍵詞:多目標(biāo)決策 模糊邏輯 權(quán)重
多準(zhǔn)則決策(包括多目標(biāo)決策和多屬性決策)是目前決策科學(xué)、系統(tǒng)工程、管理科學(xué)和運(yùn)籌學(xué)等學(xué)科研究中十分重要、非常活躍的領(lǐng)域。它是從有限個(gè)待優(yōu)選方案集{A1, A2,, An}中經(jīng)過綜合權(quán)衡各個(gè)目標(biāo)(或?qū)傩?Oi∈O={O1,O2,…, Om}(i=1,2,…m)后,對(duì)方案集排序并選出最滿意方案。由于各個(gè)目標(biāo)間的不可公度性與沖突性,一般要把各目標(biāo)特征量轉(zhuǎn)化為相對(duì)隸屬度(或效用函數(shù)),然后賦予各個(gè)目標(biāo)相應(yīng)權(quán)重,再作綜合評(píng)價(jià),從而確定最滿意方案。其中一個(gè)突出而又艱難的問題就是權(quán)重的確定。權(quán)重一般是由決策者給出,但是,決策者往往很難或者根本無法確定各個(gè)目標(biāo)權(quán)重的準(zhǔn)確值;另一方面,決策者雖不能給出一個(gè)確定的權(quán)重,卻能給出一個(gè)大致的范圍,如“很重要”、“重要”、“不太重要”等;同時(shí)在目標(biāo)變量中也存在一些定性目標(biāo),如“很差”、“較差”、“很好”等,對(duì)這些含有語言變量的多目標(biāo)決策問題,本文給出了一個(gè)簡(jiǎn)單而有效的模糊求解方法。
1 多目標(biāo)決策的模糊優(yōu)選理論模型簡(jiǎn)介
首先簡(jiǎn)單介紹一下陳守煜提出的多目標(biāo)決策模糊優(yōu)選模型[1]
設(shè)考慮的目標(biāo)數(shù)為m,擬定的可行方案數(shù)為n,由n個(gè)決策方案組成的方案集A={A1,A2,… An},其決策矩陣可表示為X=(Xij)m×n,其中Xij是方案j(j=1,2,…,n)的第i(i=1,2,…,m)個(gè)定量目標(biāo)值。為了增加目標(biāo)可比性,需要對(duì)目標(biāo)作歸一化,對(duì)效益型(即目標(biāo)值越大越好)和成本型(即目標(biāo)值越小越好)目標(biāo),分別用公式(1)和式(2)轉(zhuǎn)化成相對(duì)隸屬度矩陣R=(rij)m×n。
rij=(xij-ximin)/(ximax-ximin)
(1)
rij=(ximax-xij)/(ximax-ximin)
(2)
在式(1)和式(2)中,(符號(hào)∨和∧分別表示取大、取小運(yùn)算)。
對(duì)方案的多目標(biāo)決策問題,方案優(yōu)選是一相對(duì)概念,據(jù)此可定義理想優(yōu)方案G和理論劣方案B
G=(g1,g2,…,gm)
(3)
B=(b1,b2…,bm)
式中,
顯然,這里G=(1,1,…,1)1×m,B=(0,0,…, 0)1×m
由于目標(biāo)沖突性,方案G和B一般是不存在的,為此方案的優(yōu)選是選擇一個(gè)最滿意的方案Aj使之盡可能接近G而遠(yuǎn)離B。若設(shè)方案Aj隸屬于G的相對(duì)隸屬度為uj則隸屬于B的相對(duì)錄屬度為1-uj,按模糊優(yōu)選理論模型,可得方案Aj的相對(duì)優(yōu)屬度為
(4)
式中,i=1,2,…,m;j=1,2,…,n。
若權(quán)值已知,通過上式即可求解uj。
2 定性變量的描述及評(píng)價(jià)
我們看到對(duì)于定量的多目標(biāo)決策問題(即目標(biāo)和權(quán)重均為定量值),上述模型可以很好地解決,但若含有定性目標(biāo),且權(quán)重不能確定時(shí)又怎么辦呢?文獻(xiàn)[2]是通過構(gòu)建相及矩陣來計(jì)算定性目標(biāo)的相對(duì)隸屬度和權(quán)重的大小的;本文則利用模糊邏輯推理來進(jìn)行求解。
一般,對(duì)于定性變量,我們可以通過一些語言變量進(jìn)行描述,如“很差”、“差”、“較差”、“中”、“較好”、“好”、“很好”等(對(duì)于權(quán)重則稱為“很不重要”、“不重要”、“不太重要”、“一般”、“比較重要”、“重要”、“很重要”等,分別用NB、NM、NS、ZE、PS、PM、PB代替),這些語言變量又都可以用不同的模糊集來表示。這里用三角形隸屬函數(shù)來表示一個(gè)模糊集:若以3個(gè)頂點(diǎn)在橫軸上的坐標(biāo)(A,B、C)表示一個(gè)三角形,其中B是相對(duì)隸屬度最大的點(diǎn)(如圖1所示),則以上7個(gè)模糊集分別為(0,0,0.25),(0,0.25,0.35),(0.25,0.35,0.5),(0.35,0.5,0.75),(0.5,0.75,0.85),(0.75,0.85,1.0),(0.85,1.0,1.0),其隸屬函數(shù)如圖2所示。于是各定性變量可記為(r1ij,r2ij,r3ij)和(w1i,w2i,w3i)(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n),其中,代表第j個(gè)方案中第i個(gè)定性目標(biāo)的模糊數(shù),指第i個(gè)目標(biāo)權(quán)重的模糊數(shù)。
顯然模糊評(píng)價(jià)的結(jié)果也是個(gè)模糊數(shù),設(shè)為(f1ij,f2ij,f3ij),則
(5)
圖1 模糊數(shù)表示示意
圖2 各隸屬函數(shù)
其中,表示模糊數(shù)的乘,由下式定義
f1ij=w1i·r1ij,
f2ij=w2i·r2ij,
f3ij=w3i·r3ij
(6)
其精確化輸出uij可以是具有最大相對(duì)隸屬度的點(diǎn),即
uij=f2ij
(7)
于是某方案j的綜合評(píng)價(jià)值為
(8)
3 定量變量的描述及評(píng)價(jià)
為了與定性變量協(xié)同計(jì)算,我們對(duì)定量值按以下步驟進(jìn)行處理:
(1) 首先,按式(1)或(2)將各定量值轉(zhuǎn)換成相對(duì)隸屬度值Rij
(2) 然后,利用各語言變量的隸屬函數(shù),求出Rij對(duì)于某語言變量k的相對(duì)隸屬度(Rij),其中為語言變量k的模糊集k∈{NB、NM、NS、ZE、PS、PM、PB},寫成三角形分量式是(a1kij,a2kij,a3kij),其隸屬函數(shù)亦如圖2所示。若設(shè)對(duì)于Rij,隸屬度不為零的模糊集個(gè)數(shù)為l,此時(shí),Rij也可看作一個(gè)定性值,它由l個(gè)模糊數(shù)乘以相對(duì)隸屬度(Rij)組成,即
(9)
其中,僅表示Rij由l個(gè)模糊數(shù)組成,不具有任何運(yùn)算功能。
例如,定量值0.4在“較差”中的相對(duì)隸屬度(0.4)=0.67,在撝袛中的相對(duì)隸屬度,則。設(shè)權(quán)重為,則由公式(5)、(9),模糊評(píng)價(jià)的結(jié)果為
(10)
(3) 可由各模糊數(shù)按加權(quán)平均求出其精確輸出值uij。
(11)
其中,f2kij指方案j中的目標(biāo)i在第k個(gè)模糊數(shù)中相對(duì)隸屬度最大的點(diǎn),與公式(6)相仿,f2kij=w2i·a2kij,其它符號(hào)意義同前。
(4) 于是方案j的最終的綜合評(píng)價(jià)值亦可由公式(8)給出。
表1
方案號(hào)
水庫最高洪水位/m
調(diào)洪末庫水位/m
棄水量/1083
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
264.04
263.83
263.51
263.18
262.96
263.42
263.23
263.09
262.99
262.96
263.03
263.87
263.51
262.97
262.40
262.01
262.78
262.59
262.44
262.34
262.30
262.42
17.28
19.01
21.60
24.19
25.92
22.46
23.33
24.02
24.45
&n 一種多目標(biāo)決策問題的模糊解法bsp; 24.62
24.11
4 算例
我們采用文獻(xiàn)[4]中的算例,以豐滿水庫1991年7月28日的實(shí)際洪水調(diào)度為例,對(duì)生成的11種方案進(jìn)行優(yōu)選,各方案的目標(biāo)值見表1。洪水調(diào)度考慮了3個(gè)防洪目標(biāo):(1)水庫最高洪水位;(2)調(diào)洪末庫水位;(3)棄水量。
現(xiàn)將權(quán)重以定性值給出,即(“一般”,“不重要”、“不太重要”),用模糊數(shù)表示為,各語言變量的隸屬函數(shù)見圖2。
其中目標(biāo)(1)、(3)為成本型,應(yīng)用式(2)求rij;根據(jù)水庫防洪規(guī)劃,7月末庫水位為262.44m,故目標(biāo)(2)為中間型,按文獻(xiàn)[3]求目標(biāo)相對(duì)隸屬度的公式為:
(12)
首先,利用式(2)和(12)對(duì)表1中的數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理,得到相對(duì)隸屬度矩陣如下:
然后,求出R中各定量值對(duì)于各模糊集{NB、NM、NS、ZE、PS、PM、PB}的相對(duì)隸屬度(Rij);第三,按公式(11)求出j方案中i目標(biāo)的評(píng)價(jià)指標(biāo)uij。最后,由公式(8)得到方案j的最終綜合評(píng)價(jià)值vj,vj從大到小排列的順序也就是方案的優(yōu)選順序。按上述方法得到v=(0.3500,0.4401,0.5777,0.7112,0.6748,0.6178,0.7037,0.7668,0.7782,0.7782,0.7874),則優(yōu)劣排序?yàn)?11,10,9,8…),方案11為最滿意方案,這與文獻(xiàn)[4]中所得結(jié)論是一致的。
注意,雖然這里是以目標(biāo)完全為定量值、權(quán)重均為定性值為例,但對(duì)于含有部分定性目標(biāo)及定量權(quán)重的混合情況也是適用的,只要先將定量值按第3節(jié)中所述模糊化后就可用類似的方法與定性值一起處理了。
結(jié)語
在多目標(biāo)決策問題中,常含有一些定性變量,如定性目標(biāo)值或權(quán)重,本文就這類問題給出了一種利用模糊邏輯求解的方法。應(yīng)該指出,雖然從理論上說,此方法亦適用于僅含定量值的多目標(biāo)決策,但由于要對(duì)定量值進(jìn)行模糊化處理,增加了計(jì)算量,故倘若問題中不含有定性變量,則應(yīng)用模糊優(yōu)選模型式(4)可以很好地求解。然而對(duì)含有定性變量的多目標(biāo)決策問題,它不失為一種有效的方法。
參 考 文 獻(xiàn):
[1] 陳守煜.工程模糊集理論與應(yīng)用 [M].北京:國防工業(yè)出版社,1998.
[2] 陳守煜.多階段多目標(biāo)決策系統(tǒng)模糊優(yōu)選理論及其應(yīng)用 [J].水利學(xué)報(bào).1990,(1).
[3] 陳守煜.復(fù)雜水資源系統(tǒng)優(yōu)化模糊識(shí)別理論與應(yīng)用 [M].長(zhǎng)春:吉林大學(xué)出版社,2002.
[4] 程春田,王本德.啟發(fā)式與人機(jī)交互相結(jié)合的水庫防洪模糊優(yōu)化調(diào)度模型 [J].水利學(xué)報(bào),1995,(11).
[5] Ronald R Yager, Lotfi A Zadeh. An Introduction to Fuzzy Logic App lications in Intelligent Systems [M]. Kluwer Academic Publishers, 1992.
[6] Lilybert L Machacha, Prabir Bhattacharya. A Fuzzy-logic-based A pproach to Project Selection [J]. IEEE TRANSACTIONS ON ENGINEERING MANAGEMENT, 2000, 47 (1).
|