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一種多目標決策問題的模糊解法
一種多目標決策問題的模糊解法 摘要:針對定性多目標決策問題,提出了一種利用模糊集理論來求解的方法。它先對目標及權重進行模糊化,然后通過模糊運算及反模糊化的過程得到各方案的評價值,進而進行多目標決策。文章最后通過對豐滿水庫實際洪水調(diào)度方案的多目標決策,表明了該方法的可行性和有效性,同時還具有簡單、實用、直觀的優(yōu)點。
關鍵詞:多目標決策 模糊邏輯 權重
多準則決策(包括多目標決策和多屬性決策)是目前決策科學、系統(tǒng)工程、管理科學和運籌學等學科研究中十分重要、非�；钴S的領域。它是從有限個待優(yōu)選方案集{A1, A2,, An}中經(jīng)過綜合權衡各個目標(或屬性)Oi∈O={O1,O2,…, Om}(i=1,2,…m)后,對方案集排序并選出最滿意方案。由于各個目標間的不可公度性與沖突性,一般要把各目標特征量轉化為相對隸屬度(或效用函數(shù)),然后賦予各個目標相應權重,再作綜合評價,從而確定最滿意方案。其中一個突出而又艱難的問題就是權重的確定。權重一般是由決策者給出,但是,決策者往往很難或者根本無法確定各個目標權重的準確值;另一方面,決策者雖不能給出一個確定的權重,卻能給出一個大致的范圍,如“很重要”、“重要”、“不太重要”等;同時在目標變量中也存在一些定性目標,如“很差”、“較差”、“很好”等,對這些含有語言變量的多目標決策問題,本文給出了一個簡單而有效的模糊求解方法。
1 多目標決策的模糊優(yōu)選理論模型簡介
首先簡單介紹一下陳守煜提出的多目標決策模糊優(yōu)選模型[1]
設考慮的目標數(shù)為m,擬定的可行方案數(shù)為n,由n個決策方案組成的方案集A={A1,A2,… An},其決策矩陣可表示為X=(Xij)m×n,其中Xij是方案j(j=1,2,…,n)的第i(i=1,2,…,m)個定量目標值。為了增加目標可比性,需要對目標作歸一化,對效益型(即目標值越大越好)和成本型(即目標值越小越好)目標,分別用公式(1)和式(2)轉化成相對隸屬度矩陣R=(rij)m×n。
rij=(xij-ximin)/(ximax-ximin)
(1)
rij=(ximax-xij)/(ximax-ximin)
(2)
在式(1)和式(2)中,(符號∨和∧分別表示取大、取小運算)。
對方案的多目標決策問題,方案優(yōu)選是一相對概念,據(jù)此可定義理想優(yōu)方案G和理論劣方案B
G=(g1,g2,…,gm)
(3)
B=(b1,b2…,bm)
式中,
顯然,這里G=(1,1,…,1)1×m,B=(0,0,…, 0)1×m
由于目標沖突性,方案G和B一般是不存在的,為此方案的優(yōu)選是選擇一個最滿意的方案Aj使之盡可能接近G而遠離B。若設方案Aj隸屬于G的相對隸屬度為uj則隸屬于B的相對錄屬度為1-uj,按模糊優(yōu)選理論模型,可得方案Aj的相對優(yōu)屬度為
(4)
式中,i=1,2,…,m;j=1,2,…,n。
若權值已知,通過上式即可求解uj。
2 定性變量的描述及評價
我們看到對于定量的多目標決策問題(即目標和權重均為定量值),上述模型可以很好地解決,但若含有定性目標,且權重不能確定時又怎么辦呢?文獻[2]是通過構建相及矩陣來計算定性目標的相對隸屬度和權重的大小的;本文則利用模糊邏輯推理來進行求解。
一般,對于定性變量,我們可以通過一些語言變量進行描述,如“很差”、“差”、“較差”、“中”、“較好”、“好”、“很好”等(對于權重則稱為“很不重要”、“不重要”、“不太重要”、“一般”、“比較重要”、“重要”、“很重要”等,分別用NB、NM、NS、ZE、PS、PM、PB代替),這些語言變量又都可以用不同的模糊集來表示。這里用三角形隸屬函數(shù)來表示一個模糊集:若以3個頂點在橫軸上的坐標(A,B、C)表示一個三角形,其中B是相對隸屬度最大的點(如圖1所示),則以上7個模糊集分別為(0,0,0.25),(0,0.25,0.35),(0.25,0.35,0.5),(0.35,0.5,0.75),(0.5,0.75,0.85),(0.75,0.85,1.0),(0.85,1.0,1.0),其隸屬函數(shù)如圖2所示。于是各定性變量可記為(r1ij,r2ij,r3ij)和(w1i,w2i,w3i)(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n),其中,代表第j個方案中第i個定性目標的模糊數(shù),指第i個目標權重的模糊數(shù)。
顯然模糊評價的結果也是個模糊數(shù),設為(f1ij,f2ij,f3ij),則
(5)
圖1 模糊數(shù)表示示意
圖2 各隸屬函數(shù)
其中,表示模糊數(shù)的乘,由下式定義
f1ij=w1i·r1ij,
f2ij=w2i·r2ij,
f3ij=w3i·r3ij
(6)
其精確化輸出uij可以是具有最大相對隸屬度的點,即
uij=f2ij
(7)
于是某方案j的綜合評價值為
(8)
3 定量變量的描述及評價
為了與定性變量協(xié)同計算,我們對定量值按以下步驟進行處理:
(1) 首先,按式(1)或(2)將各定量值轉換成相對隸屬度值Rij
(2) 然后,利用各語言變量的隸屬函數(shù),求出Rij對于某語言變量k的相對隸屬度(Rij),其中為語言變量k的模糊集k∈{NB、NM、NS、ZE、PS、PM、PB},寫成三角形分量式是(a1kij,a2kij,a3kij),其隸屬函數(shù)亦如圖2所示。若設對于Rij,隸屬度不為零的模糊集個數(shù)為l,此時,Rij也可看作一個定性值,它由l個模糊數(shù)乘以相對隸屬度(Rij)組成,即
(9)
其中,僅表示Rij由l個模糊數(shù)組成,不具有任何運算功能。
例如,定量值0.4在“較差”中的相對隸屬度(0.4)=0.67,在撝袛中的相對隸屬度,則。設權重為,則由公式(5)、(9),模糊評價的結果為
(10)
(3) 可由各模糊數(shù)按加權平均求出其精確輸出值uij。
(11)
其中,f2kij指方案j中的目標i在第k個模糊數(shù)中相對隸屬度最大的點,與公式(6)相仿,f2kij=w2i·a2kij,其它符號意義同前。
(4) 于是方案j的最終的綜合評價值亦可由公式(8)給出。
表1
方案號
水庫最高洪水位/m
調(diào)洪末庫水位/m
棄水量/1083
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
264.04
263.83
263.51
263.18
262.96
263.42
263.23
263.09
262.99
262.96
263.03
263.87
263.51
262.97
262.40
262.01
262.78
262.59
262.44
262.34
262.30
262.42
17.28
19.01
21.60
24.19
25.92
22.46
23.33
24.02
24.45
&n 一種多目標決策問題的模糊解法bsp; 24.62
24.11
4 算例
我們采用文獻[4]中的算例,以豐滿水庫1991年7月28日的實際洪水調(diào)度為例,對生成的11種方案進行優(yōu)選,各方案的目標值見表1。洪水調(diào)度考慮了3個防洪目標:(1)水庫最高洪水位;(2)調(diào)洪末庫水位;(3)棄水量。
現(xiàn)將權重以定性值給出,即(“一般”,“不重要”、“不太重要”),用模糊數(shù)表示為,各語言變量的隸屬函數(shù)見圖2。
其中目標(1)、(3)為成本型,應用式(2)求rij;根據(jù)水庫防洪規(guī)劃,7月末庫水位為262.44m,故目標(2)為中間型,按文獻[3]求目標相對隸屬度的公式為:
(12)
首先,利用式(2)和(12)對表1中的數(shù)據(jù)進行歸一化處理,得到相對隸屬度矩陣如下:
然后,求出R中各定量值對于各模糊集{NB、NM、NS、ZE、PS、PM、PB}的相對隸屬度(Rij);第三,按公式(11)求出j方案中i目標的評價指標uij。最后,由公式(8)得到方案j的最終綜合評價值vj,vj從大到小排列的順序也就是方案的優(yōu)選順序。按上述方法得到v=(0.3500,0.4401,0.5777,0.7112,0.6748,0.6178,0.7037,0.7668,0.7782,0.7782,0.7874),則優(yōu)劣排序為(11,10,9,8…),方案11為最滿意方案,這與文獻[4]中所得結論是一致的。
注意,雖然這里是以目標完全為定量值、權重均為定性值為例,但對于含有部分定性目標及定量權重的混合情況也是適用的,只要先將定量值按第3節(jié)中所述模糊化后就可用類似的方法與定性值一起處理了。
結語
在多目標決策問題中,常含有一些定性變量,如定性目標值或權重,本文就這類問題給出了一種利用模糊邏輯求解的方法。應該指出,雖然從理論上說,此方法亦適用于僅含定量值的多目標決策,但由于要對定量值進行模糊化處理,增加了計算量,故倘若問題中不含有定性變量,則應用模糊優(yōu)選模型式(4)可以很好地求解。然而對含有定性變量的多目標決策問題,它不失為一種有效的方法。
參 考 文 獻:
[1] 陳守煜.工程模糊集理論與應用 [M].北京:國防工業(yè)出版社,1998.
[2] 陳守煜.多階段多目標決策系統(tǒng)模糊優(yōu)選理論及其應用 [J].水利學報.1990,(1).
[3] 陳守煜.復雜水資源系統(tǒng)優(yōu)化模糊識別理論與應用 [M].長春:吉林大學出版社,2002.
[4] 程春田,王本德.啟發(fā)式與人機交互相結合的水庫防洪模糊優(yōu)化調(diào)度模型 [J].水利學報,1995,(11).
[5] Ronald R Yager, Lotfi A Zadeh. An Introduction to Fuzzy Logic App lications in Intelligent Systems [M]. Kluwer Academic Publishers, 1992.
[6] Lilybert L Machacha, Prabir Bhattacharya. A Fuzzy-logic-based A pproach to Project Selection [J]. IEEE TRANSACTIONS ON ENGINEERING MANAGEMENT, 2000, 47 (1).
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